Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Теорема и гипотеза Бибербаха 41
Отметим, что обозначения этих классов однолистных функций связаны с
немецким словом "Schlicht". Словосочетание "однолистная функция" приме-
нительно к однолистным конформным отображениям на английском языке
передается как "schlicht function" либо "univalent function".
Внешняя теорема площадей (см. предыдущую главу) утверждает, что для
функции F ∈ Σ имеет место неравенство
∞
X
n=1
n|α
n
|
2
≤ 1,
в частности,
|α
1
| ≤ 1; |α
1
| = 1 ⇔ F
α
(ζ) = ζ +
e
iα
ζ
, α ∈ R.
Удивительный факт: топологическое условие однолистности отображе-
ния порождает метрические следствия – оценки модулей коэффициентов.
Аналогично обстоит дело и с функциями класса S. Для них оказываются
справедливыми разнообразные оценки.
4.2 Теорема и гипотеза Бибербаха
Теорема 4.1. (Теорема Бибербаха, 1916 год.) Для любой функции f ∈ S с
разложением в ряд Тейлора
f(z) = z + a
2
z
2
+ a
3
z
3
+ ... = z +
∞
X
n=2
a
n
z
n
, |z| < 1,
имеет место точная оценка |a
2
| ≤ 2. Равенство |a
2
| = 2 реализуется тогда
и только тогда, когда
f(z) ≡ K(z) =
z
(1 −e
iγ
z)
2
, γ ∈ R.
где K(z) – так называемая функция Кёбе.
Доказательство. Для ∀f ∈ S рассмотрим порождаемую ею функцию
g(z) =
p
f(z
2
) =
p
z
2
+ a
2
z
4
+ a
3
z
6
+ ... =
= z
p
1 + a
2
z
2
+ a
3
z
4
+ a
4
z
6
+ ... + a
n
z
2n−2
+ ...,
4.2. Теорема и гипотеза Бибербаха                                                     41

   Отметим, что обозначения этих классов однолистных функций связаны с
немецким словом "Schlicht". Словосочетание "однолистная функция" приме-
нительно к однолистным конформным отображениям на английском языке
передается как "schlicht function" либо "univalent function".

  Внешняя теорема площадей (см. предыдущую главу) утверждает, что для
функции F ∈ Σ имеет место неравенство
                                     ∞
                                     X
                                           n|αn |2 ≤ 1,
                                     n=1

в частности,

                                                                   eiα
                 |α1 | ≤ 1;       |α1 | = 1 ⇔ Fα (ζ) = ζ +             , α ∈ R.
                                                                    ζ
   Удивительный факт: топологическое условие однолистности отображе-
ния порождает метрические следствия – оценки модулей коэффициентов.
Аналогично обстоит дело и с функциями класса S. Для них оказываются
справедливыми разнообразные оценки.


4.2    Теорема и гипотеза Бибербаха
Теорема 4.1. (Теорема Бибербаха, 1916 год.) Для любой функции f ∈ S с
разложением в ряд Тейлора
                                                          ∞
                                                          X
                              2        3
               f (z) = z + a2 z + a3 z + ... = z +              an z n ,   |z| < 1,
                                                          n=2

имеет место точная оценка |a2 | ≤ 2. Равенство |a2 | = 2 реализуется тогда
и только тогда, когда
                                                 z
                        f (z) ≡ K(z) =                   ,      γ ∈ R.
                                            (1 − eiγ z)2

где K(z) – так называемая функция Кёбе.

   Доказательство. Для ∀f ∈ S рассмотрим порождаемую ею функцию
                      p            p
                g(z) = f (z 2 ) = z 2 + a2 z 4 + a3 z 6 + ... =
                 p
             = z 1 + a2 z 2 + a3 z 4 + a4 z 6 + ... + an z 2n−2 + ...,

Страницы