Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

42 Глава 4. Теоремы Кёбе и Бибербаха и их применения
где ветвь корня фиксируется условием:
√
1 = +1. Имеем
f ∈ S ⇔ g ∈ S.
Условия нормировки для g(z) верны по построению, а однолистность отоб-
ражения g легко проверяется геометрически.
Пользуясь тем, что (1 + w)
α
= 1 + αw + o(w), w → 0, при α =
1
2
легко
получить первые слагаемые в разложении g(z):
g(z) = z(1 + a
2
z
2
+ ...)
1/2
=
= z(1 + a
2
z
2
+ o(z
2
))
1/2
= z +
a
2
2
z
3
+ ....
С использованием дробно-линейных замен ζ = 1/z, w = 1/g, которые сохра-
няют однолистность, введем в рассмотрение функцию
F (ζ) =
1
g(1/ζ)
=
1
g(z)
=
1
z
µ
1
1 + (a
2
/2)z
2
+ ...
.
Имеем следующее разложение в окрестности бесконечно удаленной точки
ζ = ∞:
F (ζ) =
1
z
³
1 −
a
2
2
z
2
+ o(z
2
)
´
=
=
1
z
−
a
2
2
z + o(z) = ζ −
a
2
2 ζ
+ o
µ
1
ζ
, ζ → ∞.
Для однолистной функции F (ζ) выполнены условия F (∞) = ∞, F
0
(∞) = 1,
следовательно, F ∈ Σ. По второму утверждению внешней теоремы площадей
имеем: |α
1
| ≤ 1, но для нашей функции α
1
= −a
2
/2, поэтому
|α
1
| =
|a
2
|
2
≤ 1 ⇔ |a
2
| ≤ 2.
В случае равенства |a
2
| = 2 будем иметь следующую цепочку
|a
2
| = 2 ⇔ |α
1
| = 1 ⇔ F
α
(ζ) = ζ +
e
iα
ζ
⇔
⇔ g
α
(z) =
1
F
α
(1/z)
⇔ g
2
α
(
√
z) = f
α
(z).
Непосредственные вычисления показывают, что
g
α
(z) =
1
1/z + e
iα
z
=
z
1 + e
iα
z
2
,
42                    Глава 4. Теоремы Кёбе и Бибербаха и их применения
                                             √
где ветвь корня фиксируется условием:            1 = +1. Имеем

                                   f ∈ S ⇔ g ∈ S.

Условия нормировки для g(z) верны по построению, а однолистность отоб-
ражения g легко проверяется геометрически.
   Пользуясь тем, что (1 + w)α = 1 + αw + o(w), w → 0, при α = 12 легко
получить первые слагаемые в разложении g(z):

                          g(z) = z(1 + a2 z 2 + ...)1/2 =
                                             a2 3
                   = z(1 + a2 z 2 + o(z 2 ))1/2 = z +
                                                z + ....
                                             2
С использованием дробно-линейных замен ζ = 1/z, w = 1/g, которые сохра-
няют однолистность, введем в рассмотрение функцию
                                       µ                    ¶
                       1       1     1          1
             F (ζ) =        =      =                          .
                     g(1/ζ)   g(z)   z 1 + (a2 /2)z 2 + ...
Имеем следующее разложение в окрестности бесконечно удаленной точки
ζ = ∞:
                            1³    a2            ´
                    F (ζ) =    1 − z 2 + o(z 2 ) =
                            z      2
                                        µ ¶
             1 a2                 a2       1
            = − z + o(z) = ζ −       +o         ,  ζ → ∞.
             z    2               2ζ       ζ
Для однолистной функции F (ζ) выполнены условия F (∞) = ∞, F 0 (∞) = 1,
следовательно, F ∈ Σ. По второму утверждению внешней теоремы площадей
имеем: |α1 | ≤ 1, но для нашей функции α1 = −a2 /2, поэтому

                                    |a2 |
                          |α1 | =         ≤ 1 ⇔ |a2 | ≤ 2.
                                     2
     В случае равенства |a2 | = 2 будем иметь следующую цепочку

                                                             eiα
                   |a2 | = 2 ⇔ |α1 | = 1 ⇔ Fα (ζ) = ζ +          ⇔
                                                              ζ
                                       1           √
                    ⇔ gα (z) =              ⇔ gα2 ( z) = fα (z).
                                   Fα (1/z)
Непосредственные вычисления показывают, что
                                       1           z
                        gα (z) =          iα
                                             =             ,
                                   1/z + e z   1 + eiα z 2

Страницы