Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4
Теоремы Кёбе и Бибербаха и их
применения
4.1 Определения основных классов однолист-
ных функций
В начале XX века для стандартизации проблем, возникающих при иссле-
довании однолистных конформных отображений f : Ω → C, были введены
два основных класса однолистных функций. Приведем их определения.
1) Класс S – класс голоморфных однолистных функций f(z), определен-
ных в D = {z : |z| < 1} и имеющих там разложение в ряд Тейлора вида
f(z) = z + a
2
z
2
+ a
3
z
3
+ ... = z +
∞
X
n=2
a
n
z
n
, |z| < 1.
Таким образом, требуется выполнение нормировок f(0) = 0 = f
0
(0) − 1,
т. е. отличие вышеприведенного ряда для функции класса S от общего раз-
ложения в ряд Тейлора заключается в том, что a
0
= 0 и a
1
= 1. Отметим
также простой геометрический смысл нормировок двух первых коэффици-
ентов: для любой функции f ∈ S область Ω = f(D) содержит точку w = 0
и конформный радиус Ω в этой точке равен 1, тем самым фиксирована одна
из гиперболических характеристик области.
Нормировка f
0
(0) = 1 для функций класса S позволяет также фиксиро-
вать ветвь аргумента производной Argf
0
(z) условием Argf
0
(0) = 0.
2) Класс Σ – класс мероморфных однолистных в области в D
−
= {ζ :
|ζ| > 1} функций F (ζ) с разложением в ряд Лорана
F (ζ) = ζ + α
0
+
α
1
ζ
+
α
2
ζ
2
+ ... = ζ + α
0
+
∞
X
n=1
α
n
ζ
n
, |ζ| > 1.
39
Глава 4

Теоремы Кёбе и Бибербаха и их
применения

4.1    Определения основных классов однолист-
       ных функций
   В начале XX века для стандартизации проблем, возникающих при иссле-
довании однолистных конформных отображений f : Ω → C, были введены
два основных класса однолистных функций. Приведем их определения.
   1) Класс S – класс голоморфных однолистных функций f (z), определен-
ных в D = {z : |z| < 1} и имеющих там разложение в ряд Тейлора вида
                                                ∞
                                                X
                            2      3
            f (z) = z + a2 z + a3 z + ... = z +   an z n , |z| < 1.
                                            n=2

    Таким образом, требуется выполнение нормировок f (0) = 0 = f 0 (0) − 1,
т. е. отличие вышеприведенного ряда для функции класса S от общего раз-
ложения в ряд Тейлора заключается в том, что a0 = 0 и a1 = 1. Отметим
также простой геометрический смысл нормировок двух первых коэффици-
ентов: для любой функции f ∈ S область Ω = f (D) содержит точку w = 0
и конформный радиус Ω в этой точке равен 1, тем самым фиксирована одна
из гиперболических характеристик области.
    Нормировка f 0 (0) = 1 для функций класса S позволяет также фиксиро-
вать ветвь аргумента производной Argf 0 (z) условием Argf 0 (0) = 0.
    2) Класс Σ – класс мероморфных однолистных в области в D− = {ζ :
|ζ| > 1} функций F (ζ) с разложением в ряд Лорана
                                                  X∞
                           α1 α2                      αn
          F (ζ) = ζ + α0 +   + 2 + ... = ζ + α0 +        , |ζ| > 1.
                           ζ    ζ                 n=1
                                                      ζn

                                    39

Страницы