Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Задачи и упражнения 37
такой области Ω
A(Ω) ≤ C L(∂Ω).
Указание. Ответ таков: нет, не существует. "Наказание" обусловлено тем,
что не соблюдены размерности сравниваемых величин (квадратные метры не
сравнимы с метрами!).
Для обоснования отрицательного ответа постройте последовательность
односвязных областей Ω
n
со спрямляемыми границами и таких, что
lim
n→∞
A(Ω
n
)
L(∂Ω
n
)
= ∞.
6) Пусть Ω – плоская односвязная область со спрямляемой границей. Су-
ществует ли абсолютная положительная постоянная C такая, что
A(Ω) ≥ C L
2
(∂Ω)
для любой такой области Ω?
Указание. Ответ: нет, не существует.
Чтобы убедиться в этом постройте последовательность односвязных об-
ластей Ω
n
со спрямляемыми границами и таких, что
lim
n→∞
A(Ω
n
)
L
2
(∂Ω
n
)
= 0.
Нетрудно видеть, что таким свойством обладает последовательность прямо-
угольников со сторонами длины n и 1/n. Этот пример показывает, что про-
стое соблюдение размерности не гарантирует существования изопериметри-
ческого неравенства. Рассуждения на эту тему с полезными контрпримерами
можно найти в книге [9].
Отметим также, что тематика, связанная с изопериметрическими нера-
венствами геометрии и математической физики, интенсивно развивается, см.,
например, книгу [21], статьи [17] и [18].
7) Докажите новую формулу для площади (см. в [1]):
A(Ω) =
1
2
ZZ
Ω
|∇R
Ω
(x + iy)|
2
dx dy.
3.4. Задачи и упражнения                                               37

такой области Ω
                             A(Ω) ≤ C L(∂Ω).

   Указание. Ответ таков: нет, не существует. "Наказание" обусловлено тем,
что не соблюдены размерности сравниваемых величин (квадратные метры не
сравнимы с метрами!).

   Для обоснования отрицательного ответа постройте последовательность
односвязных областей Ωn со спрямляемыми границами и таких, что

                                 A(Ωn )
                             lim         = ∞.
                             n→∞ L(∂Ωn )



   6) Пусть Ω – плоская односвязная область со спрямляемой границей. Су-
ществует ли абсолютная положительная постоянная C такая, что

                             A(Ω) ≥ C L2 (∂Ω)

для любой такой области Ω?

   Указание. Ответ: нет, не существует.

   Чтобы убедиться в этом постройте последовательность односвязных об-
ластей Ωn со спрямляемыми границами и таких, что

                                  A(Ωn )
                             lim           = 0.
                             n→∞ L2 (∂Ωn )


Нетрудно видеть, что таким свойством обладает последовательность прямо-
угольников со сторонами длины n и 1/n. Этот пример показывает, что про-
стое соблюдение размерности не гарантирует существования изопериметри-
ческого неравенства. Рассуждения на эту тему с полезными контрпримерами
можно найти в книге [9].
   Отметим также, что тематика, связанная с изопериметрическими нера-
венствами геометрии и математической физики, интенсивно развивается, см.,
например, книгу [21], статьи [17] и [18].

   7) Докажите новую формулу для площади (см. в [1]):
                           ZZ
                         1
                  A(Ω) =      |∇RΩ (x + iy)|2 dx dy.
                         2 Ω

Страницы