Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Задачи и упражнения 35
Указание. Примените теорему 3.2 к функции
f(z) =
g(z) − w
0
R
Ω
(w
0
)
,
где g – однолистное конформное отображение единичного круга на область
Ω с римановыми нормировками g(0) = w
0
, g
0
(0) > 0.
2) Пусть Ω – односвязная область на плоскости со спрямляемой границей,
g : D → Ω – однолистное конформное отображение единичного круга на
область Ω. Покажите, что для функции z = g(ζ) (ζ = ξ+iη ∈ D) справедливо
следующее неравенство
ZZ
D
|g
0
(ζ)|
2
dξ dη ≤
1
4π
µ
Z
2π
0
|g
0
(e
iθ
)|dθ
2
,
равносильное классическому изопериметрическому неравенству, так как
A(Ω) =
ZZ
D
|g
0
(ζ)|
2
dξ dη, L(∂Ω) =
Z
2π
0
|g
0
(e
iθ
)|dθ.
Указание. Утверждение представляет собой простое упражнение, если об-
ласть ограничена достаточно гладкой кривой и поэтому производная кон-
формного отображения оказывается непрерывно продолжимой на замыкание
единичного круга.
В общем случае придется воспользоваться теоремой Ф. Рисса:
производная конформного отображения g : D → Ω единичного круга на
односвязную область со спрямляемой границей имеет почти всюду на единич-
ной окружности граничные значения g
0
(e
iθ
), определяемые как предельные
значения по любым некасательным к границе путям, при этом
L(∂Ω) = lim
r→1
−
Z
2π
0
|g
0
(r e
iθ
)|dθ =
Z
2π
0
|g
0
(e
iθ
)|dθ.
3) Пусть Ω – плоская односвязная область с конечным диаметром
diam(Ω). Докажите изопериметрическое неравенство Бибербаха
A(Ω) ≤
π
4
diam
2
(Ω),
где равенство достигается тогда и только тогда, когда Ω – круг.
3.4. Задачи и упражнения                                                              35

   Указание. Примените теорему 3.2 к функции

                                             g(z) − w0
                                   f (z) =             ,
                                              RΩ (w0 )

где g – однолистное конформное отображение единичного круга на область
Ω с римановыми нормировками g(0) = w0 , g 0 (0) > 0.

   2) Пусть Ω – односвязная область на плоскости со спрямляемой границей,
g : D → Ω – однолистное конформное отображение единичного круга на
область Ω. Покажите, что для функции z = g(ζ) (ζ = ξ +iη ∈ D) справедливо
следующее неравенство
                 ZZ                             µZ       2π                  ¶2
                         0     2         1                      0       iθ
                        |g (ζ)| dξ dη ≤                       |g (e )| dθ         ,
                      D                 4π           0

равносильное классическому изопериметрическому неравенству, так как
                   ZZ                         Z 2π
                         0    2
            A(Ω) =     |g (ζ)| dξ dη, L(∂Ω) =      |g 0 (eiθ )| dθ.
                         D                                              0



   Указание. Утверждение представляет собой простое упражнение, если об-
ласть ограничена достаточно гладкой кривой и поэтому производная кон-
формного отображения оказывается непрерывно продолжимой на замыкание
единичного круга.

   В общем случае придется воспользоваться теоремой Ф. Рисса:
   производная конформного отображения g : D → Ω единичного круга на
односвязную область со спрямляемой границей имеет почти всюду на единич-
ной окружности граничные значения g 0 (eiθ ), определяемые как предельные
значения по любым некасательным к границе путям, при этом
                           Z 2π                 Z 2π
                                  0    iθ
              L(∂Ω) = lim−      |g (r e )| dθ =      |g 0 (eiθ )| dθ.
                         r→1       0                                0



   3) Пусть Ω – плоская односвязная область с конечным диаметром
diam(Ω). Докажите изопериметрическое неравенство Бибербаха
                                             π
                               A(Ω) ≤          diam2 (Ω),
                                             4
где равенство достигается тогда и только тогда, когда Ω – круг.

Страницы