Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

34 Глава 3. Изопериметрическое неравенство и теоремы площадей
Тогда имеет место неравенство
∞
X
n=1
n|α
n
|
2
≤ 1.
В частности, |α
1
| ≤ 1, и равенство |α
1
| = 1 справедливо тогда и только
тогда, когда
F (ζ) = ζ + α
0
+
e
iγ
ζ
, γ ∈ R.
Для доказательства рассматривается непустой компакт K
ρ
с гладкой гра-
ницей, определяемый соотношениями
K
ρ
= C \F (D
−
ρ
), D
−
ρ
= {ζ : |ζ| > ρ} ⊂ C.
Площадь K
ρ
неотрицательна. Вычисляя эту площадь по формуле
A(K
ρ
) =
2π
Z
0
u(t)v
0
(t)dt, u(t) = ReF (ρe
it
), v(t) = ImF (ρe
it
)
для любого фиксированного ρ ∈ (1, ∞) и выражая ее через коэффициенты
α
n
, получаем
A(K
ρ
) = π
Ã
ρ
2
−
∞
X
n=1
n|α
n
|
2
/ρ
2n
!
≥ 0.
Переходя к пределу при ρ → 1, приходим к требуемому неравенству. Если
|α
1
| = 1, то |α
n
| = 0 для любого n ≥ 2 , что дает второе утверждение теоремы.
Внешняя теорема площадей имеет ряд применений. С ними мы познако-
мимся при решении задач и упражнений к этой главе, а также в следующей
главе при доказательстве одной теоремы Л. Бибербаха.
3.4 Задачи и упражнения
1) Пусть w
0
∈ Ω, где Ω – плоская односвязная область с конечной площа-
дью A(Ω), R
Ω
(w
0
) – конформный радиус этой области в точке w
0
. Докажите,
что верно неравенство
A(Ω) ≥ π R
2
Ω
(w
0
),
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Ω – круг с центром
в точке w
0
.
34         Глава 3. Изопериметрическое неравенство и теоремы площадей

Тогда имеет место неравенство
                                           ∞
                                           X
                                                 n|αn |2 ≤ 1.
                                           n=1

В частности, |α1 | ≤ 1, и равенство |α1 | = 1 справедливо тогда и только
тогда, когда
                                        eiγ
                       F (ζ) = ζ + α0 +     , γ ∈ R.
                                         ζ
   Для доказательства рассматривается непустой компакт Kρ с гладкой гра-
ницей, определяемый соотношениями

                Kρ = C \ F (Dρ− ),                  Dρ− = {ζ : |ζ| > ρ} ⊂ C.

Площадь Kρ неотрицательна. Вычисляя эту площадь по формуле

                    Z2π
         A(Kρ ) =         u(t)v 0 (t)dt,     u(t) = ReF (ρeit ), v(t) = ImF (ρeit )
                    0

для любого фиксированного ρ ∈ (1, ∞) и выражая ее через коэффициенты
αn , получаем              Ã                     !
                                  ∞
                                  X
                 A(Kρ ) = π ρ2 −     n|αn |2 /ρ2n ≥ 0.
                                                   n=1

Переходя к пределу при ρ → 1, приходим к требуемому неравенству. Если
|α1 | = 1, то |αn | = 0 для любого n ≥ 2, что дает второе утверждение теоремы.

   Внешняя теорема площадей имеет ряд применений. С ними мы познако-
мимся при решении задач и упражнений к этой главе, а также в следующей
главе при доказательстве одной теоремы Л. Бибербаха.


3.4     Задачи и упражнения
   1) Пусть w0 ∈ Ω, где Ω – плоская односвязная область с конечной площа-
дью A(Ω), RΩ (w0 ) – конформный радиус этой области в точке w0 . Докажите,
что верно неравенство
                                        2
                             A(Ω) ≥ π RΩ  (w0 ),
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Ω – круг с центром
в точке w0 .

Страницы