Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.3. Внешняя теорема площадей 33
Поскольку
|f
0
(re
iθ
)|
2
= f
0
(re
iθ
)f
0
(re
iθ
) =
∞
X
n=1
na
n
r
n−1
e
i(n−1)θ
∞
X
n=1
na
n
r
n−1
e
−i(n−1)θ
,
то нам остается перемножить ряды и проинтегрировать почленно с учетом
ортогональности тригонометрической системы e
ikθ
. Будем иметь
A(f(D)) = 2π
∞
X
n=1
n
2
|a
n
|
2
1
Z
0
r
2n−1
dr =
= 2π
∞
X
n=1
n
2
|a
n
|
2
1
2n
= π(1 + 2|a
2
|
2
+ 3|a
3
|
3
+ ...).
Отсюда немедленно следует, что A(f(D)) ≥ π. Кроме того, очевидно, равен-
ство возможно тогда и только тогда, когда a
n
= 0, n ≥ 2, т. е. для функции
f(z) ≡ z. Следовательно, f(D) = D – единичный круг. Этим и завершается
доказательство.
Замечание. Теорема и ее доказательство остаются справедливыми и без
предположения однолистности рассматриваемой функции, но для неодно-
листной функции под площадью образа круга нужно понимать площадь со-
ответствующей римановой поверхности, для которой верна та же формула
A = A(f(D)) =
ZZ
D
|f
0
(z)|
2
dxdy,
которая учитывает площади всех "листов" римановой поверхности в силу
локального характера равенства dudv = |f
0
(z)|
2
dxdy.
3.3 Внешняя теорема площадей
Рассмотрим теперь конформные отображения внешности единичного
круга D
−
= {ζ : |ζ| > 1} ⊂ C, ∞ ∈ D
−
. В формулировке следующей тео-
ремы площадь явно не фигурирует, но неотрицательность площади является
основным доводом в доказательстве.
Теорема 3.3. (Внешняя теорема площадей.) Пусть F – однолистное кон-
формное отображение области D
−
, оставляющее на месте бесконечно уда-
ленную точку и имеющее следующее разложение в ряд Лорана
F (ζ) = ζ + α
0
+
∞
X
n=1
α
n
ζ
n
, |ζ| > 1.
3.3. Внешняя теорема площадей                                                                                  33

Поскольку
                                                     ∞
                                                     X                            ∞
                                                                                  X
       0    iθ   2     0     iθ                                    n−1 i(n−1)θ
      |f (re )| = f (re           )f 0 (reiθ )   =         nan r        e               nan rn−1 e−i(n−1)θ ,
                                                     n=1                          n=1
то нам остается перемножить ряды и проинтегрировать почленно с учетом
ортогональности тригонометрической системы eikθ . Будем иметь
                                                     ∞
                                                     X                  Z1
                            A(f (D)) = 2π                  n2 |an |2         r2n−1 dr =
                                                     n=1                0
                            ∞
                            X                   1
                     = 2π          n2 |an |2      = π(1 + 2|a2 |2 + 3|a3 |3 + ...).
                            n=1
                                               2n
Отсюда немедленно следует, что A(f (D)) ≥ π. Кроме того, очевидно, равен-
ство возможно тогда и только тогда, когда an = 0, n ≥ 2, т. е. для функции
f (z) ≡ z. Следовательно, f (D) = D – единичный круг. Этим и завершается
доказательство.
   Замечание. Теорема и ее доказательство остаются справедливыми и без
предположения однолистности рассматриваемой функции, но для неодно-
листной функции под площадью образа круга нужно понимать площадь со-
ответствующей римановой поверхности, для которой верна та же формула
                                   ZZ
                    A = A(f (D)) =    |f 0 (z)|2 dxdy,
                                                             D

которая учитывает площади всех "листов" римановой поверхности в силу
локального характера равенства dudv = |f 0 (z)|2 dxdy.


3.3        Внешняя теорема площадей
   Рассмотрим теперь конформные отображения внешности единичного
круга D− = {ζ : |ζ| > 1} ⊂ C, ∞ ∈ D− . В формулировке следующей тео-
ремы площадь явно не фигурирует, но неотрицательность площади является
основным доводом в доказательстве.
Теорема 3.3. (Внешняя теорема площадей.) Пусть F – однолистное кон-
формное отображение области D− , оставляющее на месте бесконечно уда-
ленную точку и имеющее следующее разложение в ряд Лорана
                                                           ∞
                                                           X αn
                             F (ζ) = ζ + α0 +                           ,    |ζ| > 1.
                                                           n=1
                                                                   ζn

Страницы