Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Классическое изопериметрическое неравенство 31
= π
∞
X
n=1
n(a
n
d
n
− b
n
c
n
).
Таким образом, площадь области Ω определяется формулой
A = A(Ω) = π
∞
X
n=1
n(a
n
d
n
− b
n
c
n
).
Оригинальное место в доказательстве Гурвица – выражение через коэф-
фициенты Фурье длины границы с использованием соотношений |dz/ds| = 1,
|dt/ds| = 2π/L:
L = L(∂Ω) =
L
Z
0
ds =
L
Z
0
¯
¯
¯
¯
dz
ds
¯
¯
¯
¯
2
ds =
L
Z
0
¯
¯
¯
¯
dz
dt
¯
¯
¯
¯
2
¯
¯
¯
¯
dt
ds
¯
¯
¯
¯
2
ds =
2π
L
2π
Z
0
¯
¯
¯
¯
dz
dt
¯
¯
¯
¯
2
dt.
Отсюда с учетом равенства |dz/dt|
2
= x
02
(t) + y
02
(t) получаем
L
2
2π
=
2π
Z
0
[x
02
(t) + y
02
(t)]dt.
Подставляя ряды и интегрируя, приходим к формуле
L
2
2π
= π
∞
X
n=1
n
2
(a
2
n
+ b
2
n
+ c
2
n
+ d
2
n
).
Очевидно, доказываемое изопериметрическое неравенство A ≤ L
2
/(4π)
равносильно следующему неравенству для рядов
2
∞
X
n=1
n(a
n
d
n
− b
n
c
n
) ≤
∞
X
n=1
n
2
(a
2
n
+ b
2
n
+ c
2
n
+ d
2
n
),
которое является следствием простых неравенств 2a
n
d
n
≤ a
2
n
+ d
2
n
, −2b
n
c
n
≤
b
2
n
+ c
2
n
для всех натуральных n.
Рассмотрим случай равенства. При n ≥ 2 имеем n
2
> n, поэтому равен-
ство возможно лишь при условии a
n
= b
n
= c
n
= d
n
= 0. При n = 1 ра-
венство в соответствующем неравенстве возможно лишь в том случае, когда
a
1
= d
1
, b
1
= −c
1
, Таким образом, равенство реализуется лишь для области
Ω, граница которой имеет параметрическое представление
x(t) =
a
0
2
+ a
1
cos t + b
1
sin t, y(t) =
c
0
2
− b
1
cos t + a
1
sin t,
3.1. Классическое изопериметрическое неравенство                                             31

                                         ∞
                                         X
                                    =π         n(an dn − bn cn ).
                                         n=1

Таким образом, площадь области Ω определяется формулой
                                                ∞
                                                X
                           A = A(Ω) = π               n(an dn − bn cn ).
                                                n=1

    Оригинальное место в доказательстве Гурвица – выражение через коэф-
фициенты Фурье длины границы с использованием соотношений |dz/ds| = 1,
|dt/ds| = 2π/L:

                     ZL       ZL ¯ ¯2   ZL ¯ ¯2 ¯ ¯2       Z2π ¯ ¯2
                                 ¯ dz ¯    ¯ dz ¯ ¯ dt ¯ 2π ¯¯ dz ¯¯
     L = L(∂Ω) =                 ¯    ¯    ¯    ¯ ¯
                          ds = ¯ ¯ ds = ¯ ¯ ¯ ¯ ds =   ¯
                                   ds        dt     ds   L     ¯ dt ¯ dt.
                     0          0                     0                              0

Отсюда с учетом равенства |dz/dt|2 = x02 (t) + y 02 (t) получаем

                                         Z2π
                                L2
                                   =        [x02 (t) + y 02 (t)]dt.
                                2π
                                         0

Подставляя ряды и интегрируя, приходим к формуле
                                 X∞
                           L2
                              =π     n2 (a2n + b2n + c2n + d2n ).
                           2π    n=1

   Очевидно, доказываемое изопериметрическое неравенство A ≤ L2 /(4π)
равносильно следующему неравенству для рядов
                   ∞
                   X                             ∞
                                                 X
               2         n(an dn − bn cn ) ≤              n2 (a2n + b2n + c2n + d2n ),
                   n=1                            n=1

которое является следствием простых неравенств 2an dn ≤ a2n + d2n , −2bn cn ≤
b2n + c2n для всех натуральных n.
    Рассмотрим случай равенства. При n ≥ 2 имеем n2 > n, поэтому равен-
ство возможно лишь при условии an = bn = cn = dn = 0. При n = 1 ра-
венство в соответствующем неравенстве возможно лишь в том случае, когда
a1 = d1 , b1 = −c1 , Таким образом, равенство реализуется лишь для области
Ω, граница которой имеет параметрическое представление
                   a0                                            c0
         x(t) =       + a1 cos t + b1 sin t,          y(t) =        − b1 cos t + a1 sin t,
                   2                                             2

Страницы