Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

32 Глава 3. Изопериметрическое неравенство и теоремы площадей
следовательно, граница области представляет собой окружность радиуса R =
p
a
2
1
+ b
2
1
и с центром в точке (a
0
/2, c
0
/2), так как
z(t) = x(t) + iy(t) =
a
0
+ ic
0
2
+ (a
1
− ib
1
)(cos t + i sin t),
¯
¯
¯
¯
z(t) −
a
0
+ ic
0
2
¯
¯
¯
¯
= |a
1
− ib
1
|,
что завершает доказательство теоремы.
В задачах и упражнениях мы обсудим переформулировку изопериметри-
ческого неравенства с использованием конформных отображений.
Рассмотрим теперь классические теоремы площадей из теории однолист-
ных функций (см. [7], глава 2).
3.2 Внутренняя теорема площадей
Теорема 3.2. (Внутренняя теорема площадей.) Пусть f(z) – функция, го-
ломорфная в единичном круге D, и пусть
f(z) = z + a
2
z
2
+ a
3
z
3
+ ... = z +
∞
X
n=2
a
n
z
n
, |z| < 1.
Предположим, что f(z) – однолистная функция, т. е. отображение f :
D → C является инъективным. Тогда площадь A = A(f (D)) образа круга
при отображении f удовлетворяет неравенству
A = A(f(D)) ≥ π.
Равенство реализуется только для случая, когда f(D) = D.
Доказательство. Обозначим w = u + iv = f(z), |z| < 1. Простые вычисле-
ния показывают, что якобиан конформного преобразования w = f(z) равен
|f
0
(z)|
2
, т. е. дифференциальный элемент площади образа записывается так:
dudv = |f
0
(z)|
2
dxdy. Поэтому
A = A(f(D)) =
ZZ
f(D)
dudv =
ZZ
D
|f
0
(z)|
2
dxdy =
2π
Z
0
dθ
1
Z
0
|f
0
(re
iθ
)|
2
rdr.
32           Глава 3. Изопериметрическое неравенство и теоремы площадей

следовательно, граница области представляет собой окружность радиуса R =
p
  a21 + b21 и с центром в точке (a0 /2, c0 /2), так как

                              a0 + ic0
             z(t) = x(t) + iy(t) =          + (a1 − ib1 )(cos t + i sin t),
                                   2
                      ¯                   ¯
                      ¯       a   +  ic   ¯
                      ¯z(t) −   0       0 ¯ = | a1 − ib1 |,
                      ¯           2 ¯
что завершает доказательство теоремы.

   В задачах и упражнениях мы обсудим переформулировку изопериметри-
ческого неравенства с использованием конформных отображений.

  Рассмотрим теперь классические теоремы площадей из теории однолист-
ных функций (см. [7], глава 2).


3.2      Внутренняя теорема площадей
Теорема 3.2. (Внутренняя теорема площадей.) Пусть f (z) – функция, го-
ломорфная в единичном круге D, и пусть
                                                            ∞
                                                            X
             f (z) = z + a2 z 2 + a3 z 3 + ... = z +               an z n ,         |z| < 1.
                                                             n=2


Предположим, что f (z) – однолистная функция, т. е. отображение f :
D → C является инъективным. Тогда площадь A = A(f (D)) образа круга
при отображении f удовлетворяет неравенству

                                      A = A(f (D)) ≥ π.

Равенство реализуется только для случая, когда f (D) = D.

      Доказательство. Обозначим w = u + iv = f (z), |z| < 1. Простые вычисле-
ния показывают, что якобиан конформного преобразования w = f (z) равен
|f 0 (z)|2 , т. е. дифференциальный элемент площади образа записывается так:
dudv = |f 0 (z)|2 dxdy. Поэтому

                      ZZ                    ZZ                           Z2π        Z1
     A = A(f (D)) =                dudv =            |f 0 (z)|2 dxdy =         dθ        |f 0 (reiθ )|2 rdr.
                           f (D)                 D
                                                                          0         0

Страницы