Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

30 Глава 3. Изопериметрическое неравенство и теоремы площадей
из более чем десяти известных доказательств.
Теорема 3.1. (Классическое изопериметрическое неравенство.) Пусть Ω –
односвязная область на плоскости со спрямляемой границей длины L =
L(∂Ω), и пусть A = A(Ω) – площадь области Ω. Тогда
A ≤
L
2
4π
.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда Ω – круг.
Доказательство (А. Гурвиц). Пусть s – дуговая абсцисса граничной кри-
вой, по условию теоремы 0 ≤ s ≤ L. Запишем параметрические уравнения
этой кривой в виде z = x + iy = ϕ(s) + iψ(s) и введем вспомогательную пере-
менную t = 2πs/L, 0 ≤ t ≤ 2π. Имеем z = ϕ(s) + iψ(s) = x(t) + iy(t), t ∈
[0, 2π]. Из курса математического анализа известно, что спрямляемость кри-
вой влечет абсолютную непрерывность функций ϕ и ψ, т. е. существование
почти всюду производных ϕ
0
, ψ
0
и справедливость равенств
ϕ(s) = C
1
+
s
Z
0
ϕ
0
(τ)dτ, ψ(s) = C
2
+
s
Z
0
ψ
0
(τ)dτ.
Поэтому функции x = ϕ и y = ψ можно разложить в абсолютно сходящиеся
ряды Фурье
x(t) =
a
0
2
+
∞
X
n=1
a
n
cos nt + b
n
sin nt,
y(t) =
c
0
2
+
∞
X
n=1
c
n
cos nt + d
n
sin nt.
Законность применяемых ниже операций почленного дифференцирования и
интегрирования рядов легко обосновать для приближающих рядов с коэф-
фициентами r
n
a
n
, r
n
b
n
, r
n
c
n
, r
n
d
n
(0 < r < 1) с последующим предельным
переходом при r → 1 после вывода формул для длины и площади.
Вычислим сначала площадь области по известной формуле
Z
∂Ω
xdy =
2π
Z
0
x(t)y
0
(t)dt =
=
2π
Z
0
Ã
a
0
2
+
∞
X
n=1
a
n
cos nt + b
n
sin nt
!Ã
∞
X
n=1
−c
n
n sin nt + d
n
n cos nt
!
dt =
30                Глава 3. Изопериметрическое неравенство и теоремы площадей

из более чем десяти известных доказательств.
Теорема 3.1. (Классическое изопериметрическое неравенство.) Пусть Ω –
односвязная область на плоскости со спрямляемой границей длины L =
L(∂Ω), и пусть A = A(Ω) – площадь области Ω. Тогда
                                                        L2
                                              A≤           .
                                                        4π
Равенство достигается тогда и только тогда, когда Ω – круг.

     Доказательство (А. Гурвиц). Пусть s – дуговая абсцисса граничной кри-
вой, по условию теоремы 0 ≤ s ≤ L. Запишем параметрические уравнения
этой кривой в виде z = x + iy = ϕ(s) + iψ(s) и введем вспомогательную пере-
менную t = 2πs/L, 0 ≤ t ≤ 2π. Имеем z = ϕ(s) + iψ(s) = x(t) + iy(t), t ∈
[0, 2π]. Из курса математического анализа известно, что спрямляемость кри-
вой влечет абсолютную непрерывность функций ϕ и ψ, т. е. существование
почти всюду производных ϕ0 , ψ 0 и справедливость равенств
                                  Zs                                     Zs
                                        0
                    ϕ(s) = C1 +        ϕ (τ )dτ,          ψ(s) = C2 +         ψ 0 (τ )dτ.
                                  0                                      0

Поэтому функции x = ϕ и y = ψ можно разложить в абсолютно сходящиеся
ряды Фурье
                               ∞
                         a0 X
                  x(t) =    +     an cos nt + bn sin nt,
                          2   n=1
                                             ∞
                                       c0 X
                            y(t) =       +     cn cos nt + dn sin nt.
                                       2   n=1
Законность применяемых ниже операций почленного дифференцирования и
интегрирования рядов легко обосновать для приближающих рядов с коэф-
фициентами rn an , rn bn , rn cn , rn dn (0 < r < 1) с последующим предельным
переходом при r → 1 после вывода формул для длины и площади.
   Вычислим сначала площадь области по известной формуле
                                  Z              Z2π
                                       xdy =           x(t)y 0 (t)dt =
                                  ∂Ω             0

         Z2π Ã        ∞
                                              !Ã ∞                            !
                 a0 X                           X
     =             +     an cos nt + bn sin nt      −cn n sin nt + dn n cos nt dt =
                 2   n=1                        n=1
         0

Страницы