Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

36 Глава 3. Изопериметрическое неравенство и теоремы площадей
Указание. Если не справились с этой задачей, то найдите самое простое
доказательство этого утверждения (из нескольких известных) в замечатель-
ной книге Дж. Литтлвуда под названием "Математическая смесь".
Приведем схему Литтлвуда.
Без ограничения общности можно считать, что рассматриваемая область
является выпуклой, расположена в правой полуплоскости, ее проекция на
ось абсцисс есть интервал (0, d), где d = diam(Ω). В полярных координатах
A(Ω) =
Z
0
−π/2
dt
Z
r(t)
0
r dr +
Z
π/2
0
dθ
Z
r(θ)
0
r dr =
1
2
Z
π/2
0
(r
2
(θ −π/2) + r
2
(θ)) dθ,
где r = r(θ) (−π ≤ θ ≤ π/2) – уравнение границы области.
Остается воспользоваться тем, что выражение r
2
(θ −π/2)+r
2
(θ) равно по
теореме Пифагора квадрату длины некоторой хорды AB, не превосходящему
diam
2
(Ω) по определению диаметра.
Рис. 3.2: К доказательству Литтлвуда
4) Пусть Ω – плоская односвязная область с конечным диаметром, и пусть
w
0
∈ Ω. Докажите, что верно неравенство
R
Ω
(w
0
) ≤
1
2
diam(Ω),
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Ω – круг с центром
в точке w
0
.
5) Пусть Ω – плоская односвязная область со спрямляемой границей. Су-
ществует ли абсолютная положительная постоянная C такая, что для любой
36          Глава 3. Изопериметрическое неравенство и теоремы площадей

   Указание. Если не справились с этой задачей, то найдите самое простое
доказательство этого утверждения (из нескольких известных) в замечатель-
ной книге Дж. Литтлвуда под названием "Математическая смесь".
   Приведем схему Литтлвуда.
   Без ограничения общности можно считать, что рассматриваемая область
является выпуклой, расположена в правой полуплоскости, ее проекция на
ось абсцисс есть интервал (0, d), где d = diam(Ω). В полярных координатах
        Z 0      Z r(t)        Z π/2    Z r(θ)          Z
                                                      1 π/2 2
A(Ω) =        dt        r dr +       dθ        r dr =       (r (θ − π/2) + r2 (θ)) dθ,
         −π/2     0             0        0            2   0

где r = r(θ) (−π ≤ θ ≤ π/2) – уравнение границы области.
   Остается воспользоваться тем, что выражение r2 (θ − π/2) + r2 (θ) равно по
теореме Пифагора квадрату длины некоторой хорды AB, не превосходящему
diam2 (Ω) по определению диаметра.




                     Рис. 3.2: К доказательству Литтлвуда


   4) Пусть Ω – плоская односвязная область с конечным диаметром, и пусть
w0 ∈ Ω. Докажите, что верно неравенство
                                            1
                               RΩ (w0 ) ≤     diam(Ω),
                                            2
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Ω – круг с центром
в точке w0 .

   5) Пусть Ω – плоская односвязная область со спрямляемой границей. Су-
ществует ли абсолютная положительная постоянная C такая, что для любой

Страницы