Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава 4. Теоремы Кёбе и Бибербаха и их применения
Случай равенства возможен лишь тогда, когда |ϕ
0
(0)| = 1 ⇔ ϕ(z) = e
iα
z.
Таким образом, равенство |a
2
| = 1 возможно тогда и только тогда, когда
f(z) =
z
1 + e
iα
z
.
Очевидно, полученная экстремальная функция определяет дробно-линейное
отображение единичного круга на некоторую полуплоскость, граница кото-
рой находится на расстоянии 1/2 от начала координат.
4.5 Задачи и упражнения
1) Покажите, что функция w = f(z) принадлежит классу выпуклых од-
нолистных функций S
o
тогда и только тогда, когда функция w = zf
0
(z)
принадлежит классу S
∗
звездообразных однолистных функций.
2) Рассматривая конформный радиус как функцию, заданную в односвяз-
ной области Ω, оценим сверху модуль его градиента OR
Ω
(w).
Решение. Через w = f(z) обозначим функцию, осуществляющую одно-
листное конформное отображение единичного круга D = {z : |z| < 1} на
область Ω. Тогда, как мы знаем из главы 2, для любой точки w = f(z) ∈ Ω
имеет место равенство
R
Ω
(w) = (1 − |z|
2
)|f
0
(z)|.
Градиент является двумерным вектором
OR
Ω
(w) =
µ
∂R
Ω
(w)
∂u
,
∂R
Ω
(w)
∂v
, w = u + iv,
поэтому можем считать его комплексным числом и найти по формуле
OR
Ω
(w) = 2
∂R
Ω
(w)
∂w
=
∂R
Ω
(w)
∂u
+ i
∂R
Ω
(w)
∂v
.
В силу условий Коши-Римана определения производной будем иметь
∂w
∂z
= 0,
∂w
∂z
= f
0
(z),
поэтому
∂R
Ω
∂z
=
∂R
Ω
∂w
∂w
∂z
+
∂R
Ω
∂w
∂w
∂z
=
∂R
Ω
∂w
f
0
(z).
48                   Глава 4. Теоремы Кёбе и Бибербаха и их применения

   Случай равенства возможен лишь тогда, когда |ϕ0 (0)| = 1 ⇔ ϕ(z) = eiα z.
Таким образом, равенство |a2 | = 1 возможно тогда и только тогда, когда
                                            z
                               f (z) =             .
                                         1 + eiα z
Очевидно, полученная экстремальная функция определяет дробно-линейное
отображение единичного круга на некоторую полуплоскость, граница кото-
рой находится на расстоянии 1/2 от начала координат.


4.5    Задачи и упражнения
   1) Покажите, что функция w = f (z) принадлежит классу выпуклых од-
нолистных функций So тогда и только тогда, когда функция w = zf 0 (z)
принадлежит классу S∗ звездообразных однолистных функций.

   2) Рассматривая конформный радиус как функцию, заданную в односвяз-
ной области Ω, оценим сверху модуль его градиента ORΩ (w).

   Решение. Через w = f (z) обозначим функцию, осуществляющую одно-
листное конформное отображение единичного круга D = {z : |z| < 1} на
область Ω. Тогда, как мы знаем из главы 2, для любой точки w = f (z) ∈ Ω
имеет место равенство

                         RΩ (w) = (1 − |z|2 )|f 0 (z)|.

Градиент является двумерным вектором
                      µ                 ¶
                        ∂RΩ (w) ∂RΩ (w)
            ORΩ (w) =          ,          ,               w = u + iv,
                          ∂u       ∂v

поэтому можем считать его комплексным числом и найти по формуле

                              ∂RΩ (w)   ∂RΩ (w)    ∂RΩ (w)
                ORΩ (w) = 2           =         +i         .
                                ∂w        ∂u         ∂v
В силу условий Коши-Римана определения производной будем иметь
                          ∂w             ∂w
                             = 0,           = f 0 (z),
                          ∂z             ∂z
поэтому
                  ∂RΩ   ∂RΩ ∂w ∂RΩ ∂w   ∂RΩ 0
                      =       +       =     f (z).
                   ∂z   ∂w ∂z   ∂w ∂z    ∂w

Страницы