Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 50 стр.

50                   Глава 4. Теоремы Кёбе и Бибербаха и их применения

   4) Пусть f (z) = z + a2 z 2 + ... голоморфна при |z| < 1. Докажите, что
f ∈ S0 тогда и только тогда, когда
            Z 2π ¯ µ                      ¶¯
                 ¯          iθ 00      iθ  ¯
                 ¯Re 1 + re f (re ) ¯ dθ = 2π      (∀r ∈ [0, 1)).
                 ¯          f 0 (reiθ )    ¯
              0



  5) Докажите аналог теоремы Кёбе об одной четвертой для выпуклых
функций:

   если f ∈ S0 , то расстояние d(f ) = dist(0, ∂f (D)) от начала координат
w = 0 до границы области Ω = f (D) не меньше, чем 1/2.
   Равенство d(f ) = 1/2 реализуется лишь для отображений единичного
круга на полупоскость, т. е. для функций вида
                                           z
                              f (z) =             .
                                        1 − eiγ z

   6) Пусть Ω – односвязная область, конформно эквивалентная кругу и не
содержащая бесконечно удаленной точки. Через dist(w, ∂Ω) обозначим рас-
стояние от точки w до границы области Ω.
   Докажите неравенства

               dist(w, ∂Ω) ≤ RΩ (w) ≤ 4 dist(w, ∂Ω),   w ∈ Ω.


   Указание. По большому счету, левое неравенство является следствием
леммы Шварца, а правое неравенство эквивалентно теореме Кёбе об одной
четвертой. Но для доказательства нужны предварительные построения. Нач-
ните с сравнения конформных радиусов области Ω в точке w и вписанного в
эту область круга с центром в этой точке w и с радиусом, равным dist(w, ∂Ω).

  7) Пусть Ω – выпуклая плоская область, конформно эквивалентная кругу.
Докажите, что в этом случае

               dist(w, ∂Ω) ≤ RΩ (w) ≤ 2 dist(w, ∂Ω),   w ∈ Ω.