Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.1. О свойствах решения уравнения Лёвнера 53
и оценим
|d(w
n
− w
n−1
)|
dt
=
¯
¯
¯
¯
dw
n
dt
−
dw
n−1
dt
¯
¯
¯
¯
=
= |w
n
P (t, w
n−1
) − w
n−1
P (t, w
n−2
)| ≤
≤ |w
n
− w
n−1
||P (t, w
n−1
)| + |w
n−1
||P (t, w
n−1
) − P (t, w
n−2
)|.
Применяя соотношения
P (t, w
n−1
) − P (t, w
n−2
) =
1 + κw
n−1
1 − aew
n−1
−
1 + κw
n−2
1 − κw
n−2
=
=
2κ(w
n−1
− w
n−2
)
(1 − κw
n−1
)(1 − κw
n−2
)
,
|κw
k
| < |z| ⇒ |P (t, w
k
)| ≤
1 + |z|
1 − |z|
и
|P (t, w
n−1
) − P (t, w
n−2
)| ≤
2|w
n−1
− w
n−2
|
(1 − |z|)
2
к производным, получим
¯
¯
¯
¯
d(w
n
− w
n−1
)
dt
¯
¯
¯
¯
= A(z)|w
n
− w
n−1
| + B(z)|w
n−1
− w
n−2
|.
Здесь
A(z) =
1 + |z|
1 − |z|
, B(z) =
2|z|
(1 − |z|)
2
– константы по отношению к переменной t, так как в задаче Коши значение z
фиксировано. Поэтому получаем следующее дифференциальное неравенство
d|w
n
− w
n−1
|
dt
− A|w
n
− w
n−1
| ≤ B|w
n−1
− w
n−2
|.
Считаем, что t ∈ [0, t
0
], умножаем дифференциальное неравенство на e
−At
и интегрируем. Будем иметь
µ
dy
dt
− Ay
e
−At
= (e
−At
y)
0
= Be
−At
|w
n−1
− w
n−2
|.
Простые выкладки дают
|w
n
− w
n−1
| ≤ e
At
0
B
t
Z
0
|w
n−1
(τ) − w
n−2
(τ)|dτ.
5.1. О свойствах решения уравнения Лёвнера                                        53

и оценим                                 ¯            ¯
                        |d(wn − wn−1 )| ¯¯ dwn dwn−1 ¯¯
                                       =¯      −        =
                              dt            dt   dt ¯
                       = |wn P (t, wn−1 ) − wn−1 P (t, wn−2 )| ≤
           ≤ |wn − wn−1 ||P (t, wn−1 )| + |wn−1 ||P (t, wn−1 ) − P (t, wn−2 )|.
Применяя соотношения
                                                  1 + κwn−1   1 + κwn−2
              P (t, wn−1 ) − P (t, wn−2 ) =                 −           =
                                                  1 − aewn−1 1 − κwn−2
                                     2κ(wn−1 − wn−2 )
                             =                            ,
                                 (1 − κwn−1 )(1 − κwn−2 )
                                                             1 + |z|
                         |κwk | < |z| ⇒ |P (t, wk )| ≤
                                                             1 − |z|
и
                                                        2|wn−1 − wn−2 |
                    |P (t, wn−1 ) − P (t, wn−2 )| ≤
                                                           (1 − |z|)2
к производным, получим
          ¯               ¯
          ¯ d(wn − wn−1 ) ¯
          ¯               ¯ = A(z)|wn − wn−1 | + B(z)|wn−1 − wn−2 |.
          ¯      dt       ¯

Здесь
                                 1 + |z|                       2|z|
                       A(z) =            ,         B(z) =
                                 1 − |z|                    (1 − |z|)2
– константы по отношению к переменной t, так как в задаче Коши значение z
фиксировано. Поэтому получаем следующее дифференциальное неравенство
                 d|wn − wn−1 |
                               − A|wn − wn−1 | ≤ B|wn−1 − wn−2 |.
                      dt
   Считаем, что t ∈ [0, t0 ], умножаем дифференциальное неравенство на e−At
и интегрируем. Будем иметь
            µ           ¶
              dy
                  − Ay e−At = (e−At y)0 = Be−At |wn−1 − wn−2 |.
              dt
Простые выкладки дают
                                             Zt
                  |wn − wn−1 | ≤ eAt0 B           |wn−1 (τ ) − wn−2 (τ )|dτ.
                                             0

Страницы