Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.2. Вычисления и оценки коэффициентов 55
Проинтегрируем с учетом условия f(z, 0) = z, тогда
f(z, t)
z
= e
−t
exp
−
t
Z
0
2κf
1 − κf
dτ
= e
−t
(1 + c
2
(t)z + c
3
(t)z
2
+ ...).
Отсюда непосредственно следует требуемое разложение в окрестности нача-
ла координат:
f(z, t) = e
−t
(z + c
2
(t)z
2
+ c
3
(t)z
3
+ ...).
И наконец, голоморфность предельной функции и ее однолистность легко
следуют из общих теорем ТФКП. Таким образом, существует
lim
t→∞
e
t
f(z, t) = f(z) = z + c
2
z
2
+ c
3
z
3
+ ... ∈ S.
Выбирая всевозможные допустимые функции κ(t) в дифференциальном
уравнении Лёвнера, мы получаем множество S
0
⊂ S, состоящее из таких
предельных однолистных функций.
5.2 Вычисления и оценки коэффициентов
Теорема 5.2. (К. Лёвнер.) Множество S
0
всюду плотно в S в топологии
равномерной сходимости внутри единичного круга, т. е. ∀f ∈ S ∃f
n
∈ S
0
такие, что
f(z) = lim
n→∞
f
n
(z)
равномерно внутри единичного круга D.
Как следствие получается, что оценки коэффициентов в классе S, напри-
мер, оценки |a
n
| ≤ n и некоторые другие, достаточно доказать для f ∈ S
0
. По-
этому вернемся к решению задачи Коши (1), (2), т. е. к функции w = f(z, t),
и к предельной функции f ∈ S
0
⊂ S, определяемой соотношением
f(z) = lim
t→∞
e
t
f(z, t) = z + c
2
z
2
+ c
3
z
3
+ ..., |z| < 1.
Ясно, что тейлоровские коэффициенты w = f (z, t) можно выразить че-
рез κ(t) и после предельного перехода найти формулы для коэффициентов
c
2
, c
3
, ..., c
n
, ... предельной функции. Для этого будем в дальнейшем рассмат-
ривать w = f(z, t) как функцию комплексной переменной z при фиксирован-
ном t ∈ [0, t
0
], t
0
< ∞, и образуем функцию
g
t
0
(z, t) = f
¡
f
−1
(z, t), t
0
)
¢
= e
t−t
0
¡
z + c
2
(t, t
0
)z
2
+ ...
¢
,
5.2. Вычисления и оценки коэффициентов                                              55

Проинтегрируем с учетом условия f (z, 0) = z, тогда
                                       
                           Zt
     f (z, t)                   2κf
              = e−t exp −           dτ  = e−t (1 + c2 (t)z + c3 (t)z 2 + ...).
        z                     1 − κf
                               0

Отсюда непосредственно следует требуемое разложение в окрестности нача-
ла координат:
                 f (z, t) = e−t (z + c2 (t)z 2 + c3 (t)z 3 + ...).
   И наконец, голоморфность предельной функции и ее однолистность легко
следуют из общих теорем ТФКП. Таким образом, существует

                  lim et f (z, t) = f (z) = z + c2 z 2 + c3 z 3 + ... ∈ S.
                  t→∞



   Выбирая всевозможные допустимые функции κ(t) в дифференциальном
уравнении Лёвнера, мы получаем множество S0 ⊂ S, состоящее из таких
предельных однолистных функций.


5.2     Вычисления и оценки коэффициентов
Теорема 5.2. (К. Лёвнер.) Множество S0 всюду плотно в S в топологии
равномерной сходимости внутри единичного круга, т. е. ∀f ∈ S ∃fn ∈ S0
такие, что
                           f (z) = lim fn (z)
                                             n→∞

равномерно внутри единичного круга D.
   Как следствие получается, что оценки коэффициентов в классе S, напри-
мер, оценки |an | ≤ n и некоторые другие, достаточно доказать для f ∈ S0 . По-
этому вернемся к решению задачи Коши (1), (2), т. е. к функции w = f (z, t),
и к предельной функции f ∈ S0 ⊂ S, определяемой соотношением

                f (z) = lim et f (z, t) = z + c2 z 2 + c3 z 3 + ..., |z| < 1.
                        t→∞

      Ясно, что тейлоровские коэффициенты w = f (z, t) можно выразить че-
рез κ(t) и после предельного перехода найти формулы для коэффициентов
c2 , c3 , ..., cn , ... предельной функции. Для этого будем в дальнейшем рассмат-
ривать w = f (z, t) как функцию комплексной переменной z при фиксирован-
ном t ∈ [0, t0 ], t0 < ∞, и образуем функцию
                                  ¡                 ¢       ¡                        ¢
                   g t0 (z, t) = f f −1 (z, t), t0 ) = et−t0 z + c2 (t, t0 )z 2 + ... ,

Страницы