ВУЗ:
Составители:
68 Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях
≤ 4 + 2
2
· 3
2
|a
2
|
2
+ ... + n
2
(n + 1)
2
|a
n
|
2
. (6.1)
Искомую оценку коэффициентов доказываем теперь методом математиче-
ской индукции. Базой индукции можно взять известное неравенство |a
2
| ≤ 1.
Предположим, что |a
2
| ≤ 1, ..., |a
n
| ≤ 1. Тогда из (6.1) следует, что |a
n+1
| ≤ 1.
Действительно, перенеся первые n слагаемых в (6.1) в правую часть и при-
меняя неравенства |a
2
| ≤ 1, ... , |a
n
| ≤ 1, получаем
n
2
(n + 1)
2
|a
n+1
|
2
≤
≤ 4 + (2
2
·3
2
−4)|a
2
|
2
+ (3
2
·4
2
−2
2
·3
2
)|a
3
|
2
+ ... + (n
2
(n + 1)
2
−(n −1)
2
n
2
)|a
n
|
2
≤
≤ 4 + (2
2
·3
2
−2
2
) + (3
2
·4
2
−2
2
·3
2
) + ... + (n
2
(n + 1)
2
−(n −1)
2
n
2
) = n
2
(n + 1)
2
.
Таким образом, пришли к оценке n
2
(n + 1)
2
|a
n+1
|
2
≤ n
2
(n + 1)
2
, которая
немедленно влечет требуемое неравенство |a
n+1
| ≤ 1. Этим и завершается
доказательство теоремы.
6.4 О гипотезах Рогозинского и Милина
В. Рогозинский доказал следующее обобщение теоремы 6.4: пусть зада-
на голоморфная функция f(z) = z + a
2
z
2
+ ..., |z| < 1. Если f подчинена
некоторой функции g ∈ S
0
, то |a
n
| ≤ 1, n = 2, 3, ....
В 1943 году он выдвинул следующую обобщенную гипотезу Бибербаха:
пусть задана голоморфная функция f(z) = z + a
2
z
2
+ ..., |z| < 1. Если f
подчинена некоторой функции g ∈ S, то |a
n
| ≤ n, n = 2, 3, ....
Обобщенная гипотеза Бибербаха также оказалась верной, так как она
следует из более общей гипотезы, высказанной в 1967 году И. М. Милиным и
доказанной в 1985 году Л. де Бранжем с использованием изложенной выше
теории Левнера.
Для полноты информации сформулируем здесь гипотезу Милина: пусть
f ∈ S, и пусть γ
n
– так называемые логарифмические коэффициенты, опре-
деленные соотношением
ln
f(z)
z
=
∞
X
n=1
γ
n
z
n
, |z| < 1.
Тогда для любого натурального числа n справедливы неравенства
n
X
m=1
m
X
k=1
µ
k|γ
k
|
2
−
1
k
¶
≤ 0.
68 Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях
≤ 4 + 22 · 32 |a2 |2 + ... + n2 (n + 1)2 |an |2 . (6.1)
Искомую оценку коэффициентов доказываем теперь методом математиче-
ской индукции. Базой индукции можно взять известное неравенство |a2 | ≤ 1.
Предположим, что |a2 | ≤ 1, ..., |an | ≤ 1. Тогда из (6.1) следует, что |an+1 | ≤ 1.
Действительно, перенеся первые n слагаемых в (6.1) в правую часть и при-
меняя неравенства |a2 | ≤ 1, ... , |an | ≤ 1, получаем
n2 (n + 1)2 |an+1 |2 ≤
≤ 4 + (22 · 32 − 4)|a2 |2 + (32 · 42 − 22 · 32 )|a3 |2 + ... + (n2 (n + 1)2 − (n − 1)2 n2 )|an |2 ≤
≤ 4 + (22 · 32 − 22 ) + (32 · 42 − 22 · 32 ) + ... + (n2 (n + 1)2 − (n − 1)2 n2 ) = n2 (n + 1)2 .
Таким образом, пришли к оценке n2 (n + 1)2 |an+1 |2 ≤ n2 (n + 1)2 , которая
немедленно влечет требуемое неравенство |an+1 | ≤ 1. Этим и завершается
доказательство теоремы.
6.4 О гипотезах Рогозинского и Милина
В. Рогозинский доказал следующее обобщение теоремы 6.4: пусть зада-
на голоморфная функция f (z) = z + a2 z 2 + ..., |z| < 1. Если f подчинена
некоторой функции g ∈ S0 , то |an | ≤ 1, n = 2, 3, ....
В 1943 году он выдвинул следующую обобщенную гипотезу Бибербаха:
пусть задана голоморфная функция f (z) = z + a2 z 2 + ..., |z| < 1. Если f
подчинена некоторой функции g ∈ S, то |an | ≤ n, n = 2, 3, ....
Обобщенная гипотеза Бибербаха также оказалась верной, так как она
следует из более общей гипотезы, высказанной в 1967 году И. М. Милиным и
доказанной в 1985 году Л. де Бранжем с использованием изложенной выше
теории Левнера.
Для полноты информации сформулируем здесь гипотезу Милина: пусть
f ∈ S, и пусть γn – так называемые логарифмические коэффициенты, опре-
деленные соотношением
∞
f (z) X
ln = γn z n , |z| < 1.
z n=1
Тогда для любого натурального числа n справедливы неравенства
Xn Xm µ ¶
2 1
k|γk | − ≤ 0.
m=1 k=1
k
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
