Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

70 Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях
Выясните, каким характеристическим свойством обладает образ единич-
ного круга f(D) для функции f ∈ S
∗
γ
.
Найдите точные оценки для коэффициентов функций класса S
∗
γ
, пользу-
ясь схемой доказательства теоремы 6.4.
4) Пусть однопараметрическое семейство функций f(z, t) удовлетворяет
всем условиям теоремы 5.5, и пусть 0 < t
1
< t
2
< ∞. Покажите, что f(z, t
1
)
подчинена функции f(z, t
2
).
5) Пусть D = {z : |z| < 1} – единичный круг, Φ(z), Ψ(z) – голоморфные
функции, заданные в этом круге, и Φ ≺ Ψ. Докажите следующее утвержде-
ние: для любого ρ ∈ (0, 1)
2π
Z
0
|Re Φ(ρe
iθ
)| dθ ≤
2π
Z
0
|Re Ψ(ρe
iθ
)| dθ.
6) Пусть функция P (z) = 1+a
1
z+a
2
z
2
+... голоморфна в единичном круге
D = {z : |z| < 1} и удовлетворяет там неравенству Re P (z) > 0. Докажите,
что P (z) << (1 + z)/(1 − z).
7) Пусть α и c – постоянные, α ≥ 1, |c| ≤ 1, c 6= −1. Докажите следующее
утверждение из [20], с. 24:
1
c + 1
µµ
1 + cz
1 − z
α
− 1
<<
1
2
µµ
1 + z
1 − z
α
− 1
.
70                     Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях

   Выясните, каким характеристическим свойством обладает образ единич-
ного круга f (D) для функции f ∈ S∗γ .
   Найдите точные оценки для коэффициентов функций класса S∗γ , пользу-
ясь схемой доказательства теоремы 6.4.

   4) Пусть однопараметрическое семейство функций f (z, t) удовлетворяет
всем условиям теоремы 5.5, и пусть 0 < t1 < t2 < ∞. Покажите, что f (z, t1 )
подчинена функции f (z, t2 ).

   5) Пусть D = {z : |z| < 1} – единичный круг, Φ(z), Ψ(z) – голоморфные
функции, заданные в этом круге, и Φ ≺ Ψ. Докажите следующее утвержде-
ние: для любого ρ ∈ (0, 1)

                   Z2π                      Z2π
                                 iθ
                         |Re Φ(ρe )| dθ ≤         |Re Ψ(ρeiθ )| dθ.
                   0                        0



   6) Пусть функция P (z) = 1+a1 z+a2 z 2 +... голоморфна в единичном круге
D = {z : |z| < 1} и удовлетворяет там неравенству Re P (z) > 0. Докажите,
что P (z) << (1 + z)/(1 − z).

   7) Пусть α и c – постоянные, α ≥ 1, |c| ≤ 1, c 6= −1. Докажите следующее
утверждение из [20], с. 24:
                    µµ         ¶α    ¶       µµ       ¶α     ¶
                1       1 + cz             1     1+z
                                  − 1 <<                  −1 .
              c+1       1−z                2     1−z

Страницы