Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

74 Глава 7. Методы симметризации
7.2 Симметризация Штейнера в пространстве
Симметризация Штейнера ограниченной пространственной области Ω ⊂
R
3
относительно некоторой заданной плоскости Π строится аналогично плос-
кому случаю. А именно, пусть, например, Π – плоскость xOy, ω – проекция Ω
на эту плоскость. Перпендикуляр к Π, проходящий через точку (x
1
, y
1
) ∈ ω,
пересекает Ω по множеству конечной длины z
1
=
P
l
k
. По определению, сим-
метризованная область
Ω
∗
= {(x
1
, y
1
, z) ∈ R
3
: (x
1
, y
1
) ∈ ω, −z
1
/2 < z < z
1
/2}.
Через V обозначим объем области Ω ⊂ R
3
. Предположим, что эта область
ограничена кусочно-гладкой поверхностью площади S. Пусть V
∗
и S
∗
– объем
и площадь, соответственно, области Ω
∗
⊂ R
3
, полученной симметризацией по
Штейнеру относительно некоторой плоскости. По аналогии с теоремой 7.1
доказывается
Теорема 7.2. При симметризации по Штейнеру пространственной обла-
сти относительно плоскости объем области инвариантен, а площадь гра-
ницы может разве лишь уменьшиться, т. е.
V
∗
= V, S
∗
≤ S.
Различные методы симметризации успешно применяются при исследова-
ние задач математической физики для оценки физических величин (функци-
оналов области), таких как основная частота колеблющейся мембраны, жест-
кость кручения упругой балки, расход жидкости при подземных течениях.
Эти величины, как правило, связаны с решениями краевых задач или ва-
риационных проблем математической физики и представляют собой нормы
некоторых операторов вложения в пространствах Соболева. Поэтому есте-
ственно возникает необходимость одновременной симметризации областей и
заданных в них функций.
7.3 Симметризация Шварца
Для иллюстрации рассмотрим кратко симметризацию по Шварцу. Пусть
задана ограниченная область Ω ⊂ R
2
. Для Ω весьма просто определяется
симметризованная область: Ω
∗
⊂ R
2
как круг с центром в начале координат
и имеющий ту же площадь, что и исходная область Ω.
74                                             Глава 7. Методы симметризации

7.2    Симметризация Штейнера в пространстве
   Симметризация Штейнера ограниченной пространственной области Ω ⊂
R3 относительно некоторой заданной плоскости Π строится аналогично плос-
кому случаю. А именно, пусть, например, Π – плоскость xOy, ω – проекция Ω
на эту плоскость. Перпендикуляр к Π, проходящийP через точку (x1 , y1 ) ∈ ω,
пересекает Ω по множеству конечной длины z1 =     lk . По определению, сим-
метризованная область

           Ω∗ = {(x1 , y1 , z) ∈ R3 : (x1 , y1 ) ∈ ω, −z1 /2 < z < z1 /2}.

   Через V обозначим объем области Ω ⊂ R3 . Предположим, что эта область
ограничена кусочно-гладкой поверхностью площади S. Пусть V ∗ и S ∗ – объем
и площадь, соответственно, области Ω∗ ⊂ R3 , полученной симметризацией по
Штейнеру относительно некоторой плоскости. По аналогии с теоремой 7.1
доказывается


Теорема 7.2. При симметризации по Штейнеру пространственной обла-
сти относительно плоскости объем области инвариантен, а площадь гра-
ницы может разве лишь уменьшиться, т. е.

                            V ∗ = V,            S ∗ ≤ S.

   Различные методы симметризации успешно применяются при исследова-
ние задач математической физики для оценки физических величин (функци-
оналов области), таких как основная частота колеблющейся мембраны, жест-
кость кручения упругой балки, расход жидкости при подземных течениях.
Эти величины, как правило, связаны с решениями краевых задач или ва-
риационных проблем математической физики и представляют собой нормы
некоторых операторов вложения в пространствах Соболева. Поэтому есте-
ственно возникает необходимость одновременной симметризации областей и
заданных в них функций.


7.3    Симметризация Шварца
   Для иллюстрации рассмотрим кратко симметризацию по Шварцу. Пусть
задана ограниченная область Ω ⊂ R2 . Для Ω весьма просто определяется
симметризованная область: Ω∗ ⊂ R2 как круг с центром в начале координат
и имеющий ту же площадь, что и исходная область Ω.

Страницы