Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8.2. Конформно инвариантное интегральное неравенство 81
В комплексном анализе дифференциальный элемент длины дуги ds ча-
сто обозначают через |dz|, так как |dz| =
p
(dx)
2
+ (dy)
2
= ds. Аналогично,
|dw| =
p
(du)
2
+ (dv)
2
= dσ. Поэтому
dσ
ds
=
¯
¯
¯
¯
dw
dz
¯
¯
¯
¯
= |f
0
(z)|,
и при конформной замене переменных в криволинейных интегралах первого
рода дифференциальные элементы длин дуг оказываются связанными сле-
дующей простой формулой:
dσ = |f
0
(z)|ds.
Обозначим f(z) = u(x, y) + iv(x, y), где u(x, y), v(x, y) – вещественная и
мнимая части функции f : D → Ω, и рассмотрим замену переменной w =
u + iv на z = x + iy при связи w = f(z) в двойном интеграле. Имеем
ZZ
Ω
F (w) du dv =
ZZ
D
F (f(z)) J dx dy.
Якобиан преобразования легко считается:
J =
∂u
∂x
∂v
∂y
−
∂v
∂x
∂u
∂y
=
µ
∂u
∂x
2
+
µ
∂v
∂x
2
= |f
0
(z)|
2
,
так как в силу условий Коши-Римана
f
0
(z) =
∂f(x + iy)
∂x
=
1
i
∂f(x + iy)
∂y
=
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
=
∂v
∂y
− i
∂u
∂y
=
∂u
∂x
+ i
∂u
∂y
=
∂v
∂y
+ i
∂v
∂x
.
Поэтому стандартная, часто используемая конформная замена переменных
в двойном интеграле записывается так:
ZZ
Ω
F (w) du dv =
ZZ
D
F (f(z))|f
0
(z)|
2
dx dy.
В качестве упражнения докажем одно полезное неравенство.
Теорема 8.2. (см. [1], с. 182-183.) Пусть g : Ω → D – однолистное конформ-
ное отображение области Ω на единичный круг D, где Ω – односвязная об-
ласть на расширенной комплексной плоскости переменной z = x + iy. Тогда
для любой функции u ∈ C
∞
0
(Ω)
ZZ
Ω
|∇u(x, y)|
2
dx dy ≥
ZZ
Ω
|u(x, y)|
2
(2 − |g(z)|
2
)
(1 − |g(z)|
2
)
2
|g
0
(z)|
2
dx dy.
8.2. Конформно инвариантное интегральное неравенство                       81

   В комплексном анализе дифференциальныйp        элемент длины дуги ds ча-
сто обозначают
       p       через |dz|, так как |dz| = (dx) + (dy)2 = ds. Аналогично,
                                                  2

|dw| = (du)2 + (dv)2 = dσ. Поэтому
                                 ¯ ¯
                            dσ ¯¯ dw ¯¯
                               = ¯ ¯ = |f 0 (z)|,
                            ds     dz
и при конформной замене переменных в криволинейных интегралах первого
рода дифференциальные элементы длин дуг оказываются связанными сле-
дующей простой формулой:
                                   dσ = |f 0 (z)|ds.
   Обозначим f (z) = u(x, y) + iv(x, y), где u(x, y), v(x, y) – вещественная и
мнимая части функции f : D → Ω, и рассмотрим замену переменной w =
u + iv на z = x + iy при связи w = f (z) в двойном интеграле. Имеем
                     ZZ                ZZ
                         F (w) du dv =     F (f (z))J dx dy.
                        Ω                    D

Якобиан преобразования легко считается:
                                µ ¶2 µ ¶2
                ∂u ∂v ∂v ∂u       ∂u      ∂v
            J=        −       =         +    = |f 0 (z)|2 ,
                ∂x ∂y ∂x ∂y       ∂x      ∂x
так как в силу условий Коши-Римана

                           ∂f (x + iy)    1 ∂f (x + iy)
                       f 0 (z) =       =                    =
                                ∂x         i     ∂y
               ∂u    ∂v     ∂v     ∂u    ∂u      ∂u       ∂v      ∂v
            =     +i     =     −i     =      +i        =      +i .
               ∂x    ∂x     ∂y     ∂y    ∂x      ∂y       ∂y      ∂x
Поэтому стандартная, часто используемая конформная замена переменных
в двойном интеграле записывается так:
                ZZ                 ZZ
                    F (w) du dv =      F (f (z))|f 0 (z)|2 dx dy.
                   Ω                     D

В качестве упражнения докажем одно полезное неравенство.
Теорема 8.2. (см. [1], с. 182-183.) Пусть g : Ω → D – однолистное конформ-
ное отображение области Ω на единичный круг D, где Ω – односвязная об-
ласть на расширенной комплексной плоскости переменной z = x + iy. Тогда
для любой функции u ∈ C0∞ (Ω)
       ZZ                       ZZ
                      2              |u(x, y)|2 (2 − |g(z)|2 ) 0
            |∇u(x, y)| dx dy ≥                         2 )2
                                                              |g (z)|2 dx dy.
          Ω                        Ω     (1 −   |g(z)|

Страницы