Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8.4. Обратная краевая задача теории крыла 85
8.4 Обратная краевая задача теории крыла
На расширенной комплексной плоскости переменной z = x + iy рассмот-
рим область Ω
−
z
(внешность некоторого связного компакта K), содержащую
бесконечно удаленную точку и ограниченную кусочно-гладкой кривой L
z
.
Предположим, что в этой области имеется потенциальное векторное поле
(v
x
, v
y
) = ~v с потенциалом ϕ(x, y), удовлетворяющим уравнению Лапласа
∆ϕ =
∂
2
ϕ
∂x
2
+
∂
2
ϕ
∂y
2
= 0
и граничному условию Неймана на ∂Ω
−
z
:
∂ϕ
∂n
= 0.
Пусть ψ(x, y) – сопряженная к ϕ (x, y) гармоническая функция, тогда
функция w(z) = ϕ(x, y) + iψ(x, y), где z = x + iy, называется комплексным
потенциалом.
Зная область Ω
−
z
, мы можем найти потенциал ϕ(x, y) как решение кра-
евой задачи для уравнения Лапласа с указанным условием Неймана (для
единственности, как известно, нужны некоторые дополнительные условия).
Тогда в Ω
−
z
определится векторное поле по формулам
∂ϕ
∂x
= v
x
,
∂ϕ
∂y
= v
y
.
Приведенная задача представляет собой простую модель из теории кры-
ла: K – поперечное сечение так называемого крыла бесконечного размаха,
обтекаемого стационарным, плоскопараллельным потоком идеальной несжи-
маемой жидкости, векторное поле (v
x
, v
y
) = ~v – поле скоростей течения во-
круг крыла, однородное граничное условие Неймана – условие непроницае-
мости контура крыла L
z
. Потенциал и его частные производные оказываются
непрерывно продолжимыми на контур крыла L
z
, за исключением отдельных
особых точек, причем модуль скорости на L
z
v = v(s) =
¯
¯
¯
¯
d ϕ(s)
d s
¯
¯
¯
¯
, 0 ≤ s ≤ l,
где s – дуговая абсцисса кривой L
z
, l – ее длина, ϕ(s) — граничные значения
потенциала скоростей ϕ(x, y).
Г. Г. Тумашевым в 1945 году была поставлена и решена так называемая
обратная краевая задача о построении крыла с заранее заданными свойства-
ми. А именно, предполагается, что K неизвестно, но известна схема его об-
текания, заданы граничные значения модуля скорости v = v(s), 0 ≤ s ≤ l,
8.4. Обратная краевая задача теории крыла                                85

8.4    Обратная краевая задача теории крыла
     На расширенной комплексной плоскости переменной z = x + iy рассмот-
рим область Ω−     z (внешность некоторого связного компакта K), содержащую
бесконечно удаленную точку и ограниченную кусочно-гладкой кривой Lz .
     Предположим, что в этой области имеется потенциальное векторное поле
(vx , vy ) = ~v с потенциалом ϕ(x, y), удовлетворяющим уравнению Лапласа
                                  ∂2ϕ ∂2ϕ
                           ∆ϕ =       + 2 =0
                                  ∂x2  ∂y
и граничному условию Неймана на ∂Ω−
                                  z:

                                  ∂ϕ
                                      = 0.
                                  ∂n
   Пусть ψ(x, y) – сопряженная к ϕ(x, y) гармоническая функция, тогда
функция w(z) = ϕ(x, y) + iψ(x, y), где z = x + iy, называется комплексным
потенциалом.
   Зная область Ω−z , мы можем найти потенциал ϕ(x, y) как решение кра-
евой задачи для уравнения Лапласа с указанным условием Неймана (для
единственности, как известно, нужны некоторые дополнительные условия).
Тогда в Ω−
         z определится векторное поле по формулам

                            ∂ϕ          ∂ϕ
                               = vx ,      = vy .
                            ∂x          ∂y
   Приведенная задача представляет собой простую модель из теории кры-
ла: K – поперечное сечение так называемого крыла бесконечного размаха,
обтекаемого стационарным, плоскопараллельным потоком идеальной несжи-
маемой жидкости, векторное поле (vx , vy ) = ~v – поле скоростей течения во-
круг крыла, однородное граничное условие Неймана – условие непроницае-
мости контура крыла Lz . Потенциал и его частные производные оказываются
непрерывно продолжимыми на контур крыла Lz , за исключением отдельных
особых точек, причем модуль скорости на Lz
                                ¯        ¯
                                ¯ d ϕ(s) ¯
                                ¯
                     v = v(s) = ¯        ¯ , 0 ≤ s ≤ l,
                                    ds ¯
где s – дуговая абсцисса кривой Lz , l – ее длина, ϕ(s) — граничные значения
потенциала скоростей ϕ(x, y).
   Г. Г. Тумашевым в 1945 году была поставлена и решена так называемая
обратная краевая задача о построении крыла с заранее заданными свойства-
ми. А именно, предполагается, что K неизвестно, но известна схема его об-
текания, заданы граничные значения модуля скорости v = v(s), 0 ≤ s ≤ l,

Страницы