Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8.5. Задачи и упражнения 89
Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, т.е. функцию вида
G(z, z
0
) = ln
1
|z −z
0
|
+ u(x, y), z = x + iy,
гармоническую в Ω \{z
0
}, непрерывно продолжимую на L и обращающуюся
в нуль на L. Найдите связь между функцией Грина G(z, z
0
) и однолистным
конформным отображением F : Ω → D с нормировкой F (z
0
) = 0. Пользу-
ясь этой связью, найдите явно функцию Грина для нескольких конкретных
областей, в частности, для круга D с произвольно фиксированным полюсом
z
0
∈ D.
6) Пусть функция z = f(ζ) =
P
∞
n=1
a
n
ζ
n
, |ζ| < 1, осуществляет однолист-
ное конформное отображение единичного круга D на односвязную область
Ω, содержащую начало координат, и пусть P (Ω) – жесткость кручения этой
области. Докажите формулу из [14]:
P (Ω) =
π
2
∞
X
n=2
[
n
2
]
X
α=1
¯
¯
¯
¯
¯
n−α
X
β=α
a
β
a
n−β
¯
¯
¯
¯
¯
2
,
где [x] означает, как обычно, целую часть числа x.
Указание. Рассмотрите ограниченные области Ω
r
= f(rD), 0 < r < 1.
К ним применима формула Давенпорта. За счет перестановки слагаемых
в формуле Давенпорта (перестановки будет законными в силу абсолютной
сходимости рядов) можно показать, что
P (Ω
r
) =
π
2
∞
X
n=2
r
2n
[
n
2
]
X
α=1
¯
¯
¯
¯
¯
n−α
X
β=α
a
β
a
n−β
¯
¯
¯
¯
¯
2
.
Остается аккуратно осуществить предельный переход при r → 1
−
.
7) Пусть P (Ω) – жесткость кручения односвязной плоской области Ω,
R
Ω
(z) – конформный радиус этой области в точке z = x + iy ∈ Ω.
7.1) Докажите неравенство автора (см., например, в [1], глава 4):
P (Ω) ≤ 4
ZZ
Ω
R
2
Ω
(x + iy) dx dy.
Указание. Применяя неравенство Коши-Буняковского-Шварца, получаем
µ
ZZ
Ω
|u|dx dy
2
=
µ
ZZ
Ω
|u|
R
Ω
R
Ω
dx dy
2
≤
ZZ
Ω
R
2
Ω
dx dy
ZZ
Ω
|u|
2
R
2
Ω
dx dy.
8.5. Задачи и упражнения                                                  89

Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, т.е. функцию вида
                                     1
                 G(z, z0 ) = ln             + u(x, y),   z = x + iy,
                                  |z − z0 |
гармоническую в Ω \ {z0 }, непрерывно продолжимую на L и обращающуюся
в нуль на L. Найдите связь между функцией Грина G(z, z0 ) и однолистным
конформным отображением F : Ω → D с нормировкой F (z0 ) = 0. Пользу-
ясь этой связью, найдите явно функцию Грина для нескольких конкретных
областей, в частности, для круга D с произвольно фиксированным полюсом
z0 ∈ D.
                                 P
    6) Пусть функция z = f (ζ) = ∞         n
                                   n=1 an ζ , |ζ| < 1, осуществляет однолист-
ное конформное отображение единичного круга D на односвязную область
Ω, содержащую начало координат, и пусть P (Ω) – жесткость кручения этой
области. Докажите формулу из [14]:

                                 ∞  [n ] ¯¯n−α         ¯2
                                                       ¯
                              π X X  2
                                          ¯ X          ¯
                      P (Ω) =             ¯    a  a
                                                 β n−β ¯ ,
                              2 n=2 α=1 ¯β=α           ¯

где [x] означает, как обычно, целую часть числа x.
   Указание. Рассмотрите ограниченные области Ωr = f (rD), 0 < r < 1.
К ним применима формула Давенпорта. За счет перестановки слагаемых
в формуле Давенпорта (перестановки будет законными в силу абсолютной
сходимости рядов) можно показать, что

                                ∞    [n ] ¯¯n−α          ¯2
                                                         ¯
                             π X 2n X 2
                                           ¯X            ¯
                   P (Ωr ) =       r       ¯     aβ an−β ¯ .
                             2 n=2         ¯             ¯
                                     α=1     β=α

Остается аккуратно осуществить предельный переход при r → 1− .

   7) Пусть P (Ω) – жесткость кручения односвязной плоской области Ω,
RΩ (z) – конформный радиус этой области в точке z = x + iy ∈ Ω.
   7.1) Докажите неравенство автора (см., например, в [1], глава 4):
                               ZZ
                     P (Ω) ≤ 4    RΩ2 (x + iy) dx dy.
                                        Ω

   Указание. Применяя неравенство Коши-Буняковского-Шварца, получаем
   µZ Z            ¶2 µZ Z               ¶2 Z Z            ZZ
                             |u|                   2            |u|2
          |u| dx dy =            RΩ dx dy ≤       RΩ dx dy         2
                                                                     dx dy.
        Ω                  Ω RΩ                 Ω             Ω RΩ

Страницы