Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 9
Квазиконформные отображения
9.1 Квазиконформные отображения и преобра-
зования Мёбиуса
Рассмотрим область (открытое связное множество) Ω ⊂ R
n
, n ≥ 2 и
непрерывное отображение f : Ω → R
n
. Таким образом, в области Ω задана
непрерывная вектор-функция y = f(x) векторного аргумента. Пусть в ев-
клидовом пространстве R
n
определена декартова система координат. Тогда
задание y = f(x) в координатной записи означает задание системы функций
многих переменных: для любого x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ Ω определены числовые
функции
y
1
= f
1
(x
1
, ..., x
n
),
y
2
= f
2
(x
1
, ..., x
n
),
..........................
y
n
= f
n
(x
1
, ..., x
n
).
Предположим, что отображение f : Ω → R
n
является инъективным и для
любого a = (a
1
, ..., a
n
) ∈ Ω и рассмотрим верхний предел
K(a) = lim sup
r→0
+
max
|x−a|=r
|f(x) − f(a)|
min
|x−a|=r
|f(x) − f(a)|
.
Очевидно, 1 ≤ K(a) ≤ +∞.
Определение. Пусть f : Ω → R
n
непрерывное, инъективное, сохраняю-
щее ориентацию отображение области Ω ⊂ R
n
, n ≥ 2. Говорят, что отобра-
жение f
91
Глава 9

Квазиконформные отображения

9.1     Квазиконформные отображения и преобра-
        зования Мёбиуса
   Рассмотрим область (открытое связное множество) Ω ⊂ Rn , n ≥ 2 и
непрерывное отображение f : Ω → Rn . Таким образом, в области Ω задана
непрерывная вектор-функция y = f (x) векторного аргумента. Пусть в ев-
клидовом пространстве Rn определена декартова система координат. Тогда
задание y = f (x) в координатной записи означает задание системы функций
многих переменных: для любого x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Ω определены числовые
функции
                             y1 = f1 (x1 , ..., xn ),
                              y2 = f2 (x1 , ..., xn ),
                               ..........................
                              yn = fn (x1 , ..., xn ).
  Предположим, что отображение f : Ω → Rn является инъективным и для
любого a = (a1 , ..., an ) ∈ Ω и рассмотрим верхний предел

                                     max|x−a|=r |f (x) − f (a)|
                  K(a) = lim sup                                .
                              r→0+   min|x−a|=r |f (x) − f (a)|

Очевидно, 1 ≤ K(a) ≤ +∞.

   Определение. Пусть f : Ω → Rn непрерывное, инъективное, сохраняю-
щее ориентацию отображение области Ω ⊂ Rn , n ≥ 2. Говорят, что отобра-
жение f

                                          91

Страницы