Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

9.2. Якобиан двумерного отображения и уравнение Бельтрами 93
9.2 Якобиан двумерного отображения и урав-
нение Бельтрами
Рассмотрим подробнее квазиконформные отображения плоских областей,
т. е. двумерную теорию, обобщающую теорию конформных отображений об-
ластей на плоскости.
Возьмем для простоты гладкое, K-квазиконформное отображение
f : Ω → C, Ω ⊂ C.
Вычислим сначала якобиан отображения. Дифференциал отображения f
можно записать в следующем виде:
df = f
z
dz + f
¯z
d¯z,
где f
z
, f
¯z
– частные производные в смысле Виртингера (см. определения в
первой лекции).
Выделяя вещественные и мнимые части функции и независимой пере-
менной f(z) = u(x, y) + iv(x, y), x + iy = z, можем вычислить якобиан по
известной формуле:
J =
∂u
∂x
∂v
∂y
−
∂u
∂y
∂v
∂x
.
С другой стороны, имеем
|f
z
|
2
− |f
¯z
|
2
=
1
4
|u
x
+ iv
x
− i(u
y
+ iv
y
)|
2
−
1
4
|u
x
+ iv
x
+ i(u
y
+ iv
y
)|
2
=
=
(u
x
+ v
y
)
2
+ (v
x
− u
y
)
2
− (v
x
− u
y
)
2
− (u
x
+ v
y
)
2
4
= u
x
v
y
− v
x
u
y
.
Таким образом, якобиан отображения f выражается формулой
J = |f
z
|
2
− |f
¯z
|
2
.
Для конформных отображений f
f
¯z
≡ 0, f
z
≡ f
0
(z),
поэтому получаем уже известную нам формулу J = |f
z
|
2
= |f
0
(z)|
2
.
Оказывается, геометрическое описание квазиконформности отображений
областей на плоскости можно заменить следующим: квазиконформным явля-
ется любое инъективное отображение, определяемое как решение уравнения
Бельтрами
f
¯z
= µ(z)f
z
9.2. Якобиан двумерного отображения и уравнение Бельтрами                            93

9.2      Якобиан двумерного отображения и урав-
         нение Бельтрами
    Рассмотрим подробнее квазиконформные отображения плоских областей,
т. е. двумерную теорию, обобщающую теорию конформных отображений об-
ластей на плоскости.
    Возьмем для простоты гладкое, K-квазиконформное отображение
                               f : Ω → C,          Ω ⊂ C.
Вычислим сначала якобиан отображения. Дифференциал отображения f
можно записать в следующем виде:
                                  df = fz dz + fz̄ dz̄,
где fz , fz̄ – частные производные в смысле Виртингера (см. определения в
первой лекции).
   Выделяя вещественные и мнимые части функции и независимой пере-
менной f (z) = u(x, y) + iv(x, y), x + iy = z, можем вычислить якобиан по
известной формуле:
                                  ∂u ∂v ∂u ∂v
                             J=          −      .
                                  ∂x ∂y ∂y ∂x
С другой стороны, имеем
                        1                            1
      |fz |2 − |fz̄ |2 = |ux + ivx − i(uy + ivy )|2 − |ux + ivx + i(uy + ivy )|2 =
                        4                            4
        (ux + vy )2 + (vx − uy )2 − (vx − uy )2 − (ux + vy )2
       =                                                      = ux vy − vx uy .
                                  4
Таким образом, якобиан отображения f выражается формулой
                                   J = |fz |2 − |fz̄ |2 .
Для конформных отображений f
                                 fz̄ ≡ 0, fz ≡ f 0 (z),
поэтому получаем уже известную нам формулу J = |fz |2 = |f 0 (z)|2 .

   Оказывается, геометрическое описание квазиконформности отображений
областей на плоскости можно заменить следующим: квазиконформным явля-
ется любое инъективное отображение, определяемое как решение уравнения
Бельтрами
                               fz̄ = µ(z)fz

Страницы