Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

96 Глава 9. Квазиконформные отображения
А именно, с использованием уравнений Бельтрами для f и q , а также
соотношений ¯q
¯z
= (q
z
), ¯q
z
= q
¯z
, будем иметь
f
¯z
= µf
z
⇔ Φ
q
q
z
+ Φ
¯z
¯q
¯z
= µΦ
q
q
¯z
+ µΦ
q
¯q
z
⇔
⇔ Φ
¯q
[ ¯q
¯
z −µ¯q
z
] ≡ 0 ⇒ Φ
¯q
≡ 0,
так как [¯q
¯z
− µ¯q
z
] = (q
z
)(1 − µ¯µ) = (q
z
)(1 − |µ|
2
), и поэтому |¯q
¯z
− µ¯q
z
| ≥
p
J
q
(1 − |µ|
2
) > 0.
Легко получить и обратное утверждение:
если Φ – аналитическая функция, определенная в Ω
1
, то функция вида
f = Φ ◦ q удовлетворяет уравнению Бельтрами.
Действительно, поскольку q
¯z
= µq
z
, z ∈ Ω и Φ
¯q
= 0 в силу условий Коши-
Римана, будем иметь равенства f
z
= Φ
q
q
z
+ Φ
¯q
¯q
z
= Φ
q
q
z
и f
¯z
= Φ
q
q
¯z
+ Φ
¯q
¯q
¯z
=
Φ
q
µq
z
. Отсюда непосредственно следует, что f = Φ ◦q удовлетворяет уравне-
нию Бельтрами. Требуемые свойства производных f индуцируются соответ-
ствующими свойствами производных q и гладкостью аналитической функ-
ции.
9.4 Задачи и упражнения
Отметим, что задачи и упражнения относятся к квазиконформным отоб-
ражениям плоских областей.
1) Найти квазиконформное отображение квадрата
{z = x + iy : 0 < x < 1, 0 < y < 1}
на прямоугольник
{w = u + iv : 0 < u < 4, 0 < v < 2},
переводящее все 4 вершины квадрата в вершины прямоугольника.
Решение. Искомое отображение можно определить равенствами u =
4x, v = 2y, или, в комплексной записи, как
w = u + iv = 4x + i2y = 4
z + ¯z
2
+ i2
z − ¯z
2i
= 3z + ¯z.
Функция w = w(z) удовлетворяет уравнению Бельтрами с постоянным ко-
эффициентом
w
¯z
=
1
3
w
z
,
96                                    Глава 9. Квазиконформные отображения

   А именно, с использованием уравнений Бельтрами для f и q , а также
соотношений q̄z̄ = (qz ), q¯z = qz̄ , будем иметь
                   fz̄ = µfz ⇔ Φq qz + Φz̄ q̄z̄ = µΦq qz̄ + µΦq q̄z ⇔
                          ⇔ Φq̄ [q¯z̄ − µq̄z ] ≡ 0 ⇒ Φq̄ ≡ 0,
                                                      2
так
p как [q̄z̄ 2− µq̄z ] = (qz )(1 − µµ̄) = (qz )(1 − |µ| ), и поэтому |q̄z̄ − µq̄z | ≥
  Jq (1 − |µ| ) > 0.

    Легко получить и обратное утверждение:
    если Φ – аналитическая функция, определенная в Ω1 , то функция вида
f = Φ ◦ q удовлетворяет уравнению Бельтрами.
    Действительно, поскольку qz̄ = µqz , z ∈ Ω и Φq̄ = 0 в силу условий Коши-
Римана, будем иметь равенства fz = Φq qz + Φq̄ q¯z = Φq qz и fz̄ = Φq qz̄ + Φq̄ q̄z̄ =
Φq µqz . Отсюда непосредственно следует, что f = Φ ◦ q удовлетворяет уравне-
нию Бельтрами. Требуемые свойства производных f индуцируются соответ-
ствующими свойствами производных q и гладкостью аналитической функ-
ции.


9.4      Задачи и упражнения
   Отметим, что задачи и упражнения относятся к квазиконформным отоб-
ражениям плоских областей.

     1) Найти квазиконформное отображение квадрата
                        {z = x + iy : 0 < x < 1, 0 < y < 1}
на прямоугольник
                       {w = u + iv : 0 < u < 4, 0 < v < 2},
переводящее все 4 вершины квадрата в вершины прямоугольника.

   Решение. Искомое отображение можно определить равенствами u =
4x, v = 2y, или, в комплексной записи, как
                                            z + z̄      z − z̄
              w = u + iv = 4x + i2y = 4            + i2        = 3z + z̄.
                                              2           2i
Функция w = w(z) удовлетворяет уравнению Бельтрами с постоянным ко-
эффициентом
                                  1
                             wz̄ = wz ,
                                  3

Страницы