Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 106 стр.

106                          Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

   Этим и завершается доказательство теоремы 10.2.
   Теорема Харди 10.1 лежит в основе одного из бурно развивающихся на-
правлений в современной математике. Для дальнейшего знакомства с нера-
венствами типа Харди в плоских и пространственных областях я рекомендую
просмотреть статьи А. Анконы [15], Е. Б. Дэвиса [23], В. М. Миклюкоа и М. Р.
Вуоринена [32], отражающие различные подходы к задачам и вскрывающие
глубокие связи этой тематики с геометрической теорией функций.
   В двух последующих разделах мы ограничимся описанием решения лишь
одной задачи, сформулированной во введении к этой главе.


10.2     Области с равномерно совершенными гра-
         ницами
   Пусть Ω – область (открытое связное множество) на комплексной плос-
кости C, причем будем предполагать, что Ω имеет не менее трех граничных
точек в C, что равносильно наличию более одной граничной точки в C. Таким
образом, всюду в дальнейшем мы рассматриваем области Ω гиперболическо-
го типа на плоскости C.
   Напомним, что нетривиальное (т. е. содержащее более одной точки) мно-
жество называется совершенным, если оно содержит все свои предельные
точки.
   Следуя Х. Поммеренке [35], мы будем говорить, что граница ∂Ω ⊂ C об-
ласти Ω ⊂ C является равномерно совершенной, если является конечной ве-
личиной максимальный модуль M0 (Ω), определяемый следующим образом.
   P1 ) M0 (Ω) = 0, если не существует никакой граничной точки z0 ∈ ∂Ω,
которая служила бы центром некоторой окружности, лежащей в Ω;
   P2 ) если в область Ω можно вписать хотя бы одну окружность с центром
в некоторой граничной точке ζ ∈ ∂Ω, то область Ω содержит и круговые
концентрические кольца, центры которых лежат на ∂Ω, и поэтому корректно
определена величина
                                         1    R(A)
                          M0 (Ω) := sup    ln      ,
                                        2π    r(A)
где супремум берется по всем круговым концентрическим кольцам вида

                   A = {z ∈ C : r(A) < |z − z0 | < R(A)}

и таким, что
                             A ⊂ Ω,   z0 ∈ ∂Ω.