Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

110 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
P
2
) в общем случае, если область Ω не является односвязной, то полагают
M(Ω) := sup M(Ω
2
),
где супремум берется по всем таким двусвязным областям Ω
2
, что Ω
2
⊂ Ω и
Ω
2
разделяет компоненты ∂Ω.
Cправедливы следующие неравенства: для любой области Ω гиперболи-
ческого типа
M
0
(Ω) ≤ M
1
(Ω) ≤ M(Ω) ≤ M
0
(Ω) +
1
2
.
Первые два неравенства являются очевидными следствиями определений.
Удивительным фактом является третье неравенство, восходящее к О. Тейх-
мюллеру. В указанной форме с точной константой 1/2 оно доказано в [20],
с. 39-40, с применением одного результата О. Тейхмюллера об экстремаль-
ных модулях для двусвязных областей и формул Л. Альфорса для модуля
экстремальной области.
Качественный результат, о котором шла речь во введении к этой главе,
может быть сформулирован так:
равномерная совершенность границы области является необхо-
димым и достаточным условием существования константы Харди
для двумерной области.
В следующей теореме докажем "необходимость".
Теорема 10.3. (Ф. Г. Авхадиев [16]). Пусть Ω – область на комплексной
плоскости C, имеющая более одной граничной точки в C. Если существует
конечная величина C(Ω), для которой имеет место неравенство Харди
ZZ
Ω
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤ C(Ω)
ZZ
Ω
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(Ω) ,
то справедлива оценка
2M
0
(Ω) ≤
p
C(Ω),
следовательно, граница области Ω является равномерно совершенным мно-
жеством.
Доказательство. Если максимальный модуль равен нулю, то доказывать
нечего. Очевидно, достаточно рассмотреть лишь случай, когда 0 < M
0
(Ω) ≤
∞ и 0 < C(Ω) < ∞.
Предположим обратное, т. е. допустим существование такой гиперболи-
ческой области Ω, для которой
p
C(Ω) < 2M
0
(Ω).
110                            Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

      P2 ) в общем случае, если область Ω не является односвязной, то полагают
                              M (Ω) := sup M (Ω2 ),
где супремум берется по всем таким двусвязным областям Ω2 , что Ω2 ⊂ Ω и
Ω2 разделяет компоненты ∂Ω.

    Cправедливы следующие неравенства: для любой области Ω гиперболи-
ческого типа
                                                     1
                   M0 (Ω) ≤ M1 (Ω) ≤ M (Ω) ≤ M0 (Ω) + .
                                                     2
Первые два неравенства являются очевидными следствиями определений.
Удивительным фактом является третье неравенство, восходящее к О. Тейх-
мюллеру. В указанной форме с точной константой 1/2 оно доказано в [20],
с. 39-40, с применением одного результата О. Тейхмюллера об экстремаль-
ных модулях для двусвязных областей и формул Л. Альфорса для модуля
экстремальной области.
    Качественный результат, о котором шла речь во введении к этой главе,
может быть сформулирован так:
    равномерная совершенность границы области является необхо-
димым и достаточным условием существования константы Харди
для двумерной области.
    В следующей теореме докажем "необходимость".
Теорема 10.3. (Ф. Г. Авхадиев [16]). Пусть Ω – область на комплексной
плоскости C, имеющая более одной граничной точки в C. Если существует
конечная величина C(Ω), для которой имеет место неравенство Харди
        ZZ                             ZZ
                 |f |2
                          dx dy ≤ C(Ω)    |∇f |2 dx dy ∀f ∈ C0∞ (Ω) ,
            dist2 (z, ∂Ω)
             Ω                             Ω

то справедлива оценка                      p
                               2M0 (Ω) ≤       C(Ω),
следовательно, граница области Ω является равномерно совершенным мно-
жеством.
   Доказательство. Если максимальный модуль равен нулю, то доказывать
нечего. Очевидно, достаточно рассмотреть лишь случай, когда 0 < M0 (Ω) ≤
∞ и 0 < C(Ω) < ∞.
   Предположим обратное, т. е. допустим существование такой гиперболи-
ческой области Ω, для которой
                            p
                              C(Ω) < 2M0 (Ω).

Страницы