Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

112 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
Заменами независимой переменной r = εexp(2mt) и функции v(r) = g(t) при-
ходим к эквивалентному одномерному неравенству Пуанкаре
Z
π
0
|g(t)|
2
dt ≤
C(Ω)
4m
2
Z
π
0
|g
0
(t)|
2
dt ∀ g ∈ C
∞
0
(0, π).
Поскольку точная константа в указанном одномерном неравенстве Пуанкаре
равна единице, будем иметь
C(Ω) ≥ 4m
2
.
что противоречит неравенству
p
C(Ω) < 2m.
Теорема доказана.
10.3 Верхние оценки констант Харди
В этом пункте мы приведем явные оценки сверху для констант Харди
при условии конечности максимального модуля области. Эти оценки пока-
зывают, что равномерная совершенность границы области является также и
достаточным условием существования константы Харди C(Ω) < +∞.
Рассмотрим последовательно случаи односвязных, двусвязных и много-
связных областей.
Теорема 10.4. (А. Анкона [15]). Пусть Ω – односвязная область на ком-
плексной плоскости C, имеющая более одной граничной точки в C. Тогда
имеет место следующее неравенство Харди
ZZ
Ω
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤ 16
ZZ
Ω
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(Ω) .
Доказательство. Пусть R
Ω
(z) – конформный радиус области Ω в точке
z. Для односвязной области, как показано в теореме 8.2, справедливо нера-
венство
ZZ
Ω
|∇u(x, y)|
2
dx dy ≥
ZZ
Ω
|u(x, y)|
2
R
2
Ω
(z)
dx dy ∀u ∈ C
∞
0
(Ω). (10.6)
Утверждение теоремы непосредственно следует из этого неравенства при f =
u(x, y) с учетом неравенства Кёбе об 1/4 для односвязной области (см. задачу
6 к главе 4)
R
Ω
(z) ≤ 4 dist(z, ∂Ω), z ∈ Ω. (10.7)
112                          Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

Заменами независимой переменной r = εexp(2mt) и функции v(r) = g(t) при-
ходим к эквивалентному одномерному неравенству Пуанкаре
            Z π                 Z
                      2     C(Ω) π 0 2
                |g(t)| dt ≤       |g (t)| dt ∀ g ∈ C0∞ (0, π).
             0              4m2 0

Поскольку точная константа в указанном одномерном неравенстве Пуанкаре
равна единице, будем иметь

                             C(Ω) ≥ 4m2 .
                            p
что противоречит неравенству C(Ω) < 2m.
   Теорема доказана.


10.3     Верхние оценки констант Харди
   В этом пункте мы приведем явные оценки сверху для констант Харди
при условии конечности максимального модуля области. Эти оценки пока-
зывают, что равномерная совершенность границы области является также и
достаточным условием существования константы Харди C(Ω) < +∞.
   Рассмотрим последовательно случаи односвязных, двусвязных и много-
связных областей.

Теорема 10.4. (А. Анкона [15]). Пусть Ω – односвязная область на ком-
плексной плоскости C, имеющая более одной граничной точки в C. Тогда
имеет место следующее неравенство Харди
         ZZ                          ZZ
                  |f |2
                 2        dx dy ≤ 16    |∇f |2 dx dy ∀f ∈ C0∞ (Ω) .
             dist (z, ∂Ω)
            Ω                         Ω

   Доказательство. Пусть RΩ (z) – конформный радиус области Ω в точке
z. Для односвязной области, как показано в теореме 8.2, справедливо нера-
венство
        ZZ                      ZZ
                       2             |u(x, y)|2
             |∇u(x, y)| dx dy ≥          2
                                                dx dy ∀u ∈ C0∞ (Ω). (10.6)
           Ω                       Ω   RΩ  (z)

Утверждение теоремы непосредственно следует из этого неравенства при f =
u(x, y) с учетом неравенства Кёбе об 1/4 для односвязной области (см. задачу
6 к главе 4)
                        RΩ (z) ≤ 4 dist(z, ∂Ω), z ∈ Ω.                 (10.7)

Страницы