Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 119 стр.

10.4. Исторические сведения и комментарии                                 119

10.4     Исторические сведения и комментарии
    Полное описание плоских областей, для которых справедливо неравен-
ство Харди с конечной постоянной, возникло на протяжении десятилетия в
70-е и 80-е годы XX века, как объединяющий результат достижений ряда
математиков, а именно, классических и современных достижений по изуче-
нию метрики Пуанкаре для произвольных областей и завершающих шагов,
появившихся в статьях А. Е. Бирдона и Х. Поммеренке [22] (1978 г.), Х. Пом-
меренке [35] (1979 г.), В. К. Хеймана и Дж. М. Г. Ву [28] (1981 г.), А. Анконы
[15] (1986 г.), Й. Л. Фернандеса [26] (1989 г.) и других математиков.
    Критерий таков: существование конечной постоянной C(Ω) эквивалентно
неравенству
                        α(Ω) := inf dist (z, ∂Ω) λΩ (z) > 0,
                              z∈Ω

где λΩ (z) — коэффициент гиперболической метрики области Ω в точке z.
    Отметим для специалистов, что до 1989 года развивались параллельно и
независимо друг от друга два направления: исследования свойств областей,
для которых a) существует конечная постоянная Харди и b) коэффициент
гиперболической метрики обладает свойством α(Ω) > 0. Эквивалентность
двух условий α(Ω) > 0 и C(Ω) < ∞ установлена в статье Й. Л. Фернандеса
[26] путем их сравнения с критерием А. Анконы [15] существования конечной
постоянной C(Ω) в терминах свойств гармонических мер порций границы
области.
    Критерий Анконы представляет несомненный теоретический интерес,
но весьма сложен для проверки. Понятно также, что и проверка условия
α(Ω) > 0 в общем случае вряд ли проще, чем доказательство существования
конечной постоянной C(Ω) в неравенстве Харди. Но методы и результаты
геометрической теории функций комплексного переменного позволяют эф-
фективно "геометризовать" условие α(Ω) > 0.
    В терминах гиперболической геометрии критерием выполнения свойства
α(Ω) > 0 является равномерная ограниченность модулей всех двусвязных об-
ластей, лежащих в Ω и разделяющих ее граничные компоненты, т. е. условие
M (Ω) < ∞.
    А в терминах евклидовой геометрии оказывается, что условие α(Ω) > 0
выполняется тогда и только тогда, когда M0 (Ω) < ∞, т. е. область Ω ⊂ C
имеет не менее трех граничных точек на расширенной плоскости, и кроме
того, обладает одним из следующих свойств:
    P1 ) область Ω является либо односвязной, либо имеет несколько гранич-
ных компонент, но не существует окружности, лежащей в этой области и
разделяющей ее граничные компоненты;