Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.5. Задачи и упражнения 121
пусть Ω – открытое собственное подмножество R
n
, δ = dist(x, ∂Ω), и
пусть 1 ≤ p < ∞. Если n < s < ∞, то имеет место неравенство
Z
Ω
|f|
p
δ
s
dx ≤
µ
p
s − n
p
Z
Ω
|∇f|
p
δ
s−p
dx ∀f ∈ C
∞
0
(Ω).
Существуют области, для которых постоянная (p/(s − n))
p
не может
быть уменьшена.
10.5 Задачи и упражнения
1) Пусть A – круговое концентрическое кольцо с модулем M(A). Метода-
ми элементарной математики докажите следующие утверждения:
M
0
(A) = 0, если M(A) ≤ (2π)
−1
ln 3;
если же M(A) > (2π)
−1
ln 3, то
M
0
(A) = M(A) −
1
2π
ln 3.
Указание. Без рисунка не обойтись.
Рис. 10.3: Центр вложенного кольца – граничная точка большого кольца
2) Пусть A – круговое концентрическое кольцо с модулем M(A). Дока-
жите формулу
γ
2
(A)
16
=
1
4
+ M
2
(A),
10.5. Задачи и упражнения                                           121

   пусть Ω – открытое собственное подмножество Rn , δ = dist(x, ∂Ω), и
пусть 1 ≤ p < ∞. Если n < s < ∞, то имеет место неравенство
             Z              µ       ¶p Z
                 |f |p          p          |∇f |p
                    s
                       dx ≤                   s−p
                                                  dx ∀f ∈ C0∞ (Ω).
               Ω  δ           s − n      Ω  δ
Существуют области, для которых постоянная (p/(s − n))p не может
быть уменьшена.


10.5     Задачи и упражнения

   1) Пусть A – круговое концентрическое кольцо с модулем M (A). Метода-
ми элементарной математики докажите следующие утверждения:
   M0 (A) = 0, если M (A) ≤ (2π)−1 ln 3;
   если же M (A) > (2π)−1 ln 3, то
                                             1
                         M0 (A) = M (A) −      ln 3.
                                            2π
   Указание. Без рисунка не обойтись.




 Рис. 10.3: Центр вложенного кольца – граничная точка большого кольца


  2) Пусть A – круговое концентрическое кольцо с модулем M (A). Дока-
жите формулу
                         γ 2 (A)  1
                                 = + M 2 (A),
                           16     4

Страницы