Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 63 стр.

                                                    63

                         || x (t ) ||1 = max max{| x (t ) |, | x (t ) |} .
                                        t0 ≤t ≤t1
Раздел оптимизации, связанный с нахождением наибольших и наименьших
                                                                          1
значений функционалов, определенных на C [t 0 , t 1 ] , называется
вариационным исчислением. В отличие от рассмотренных ранее
экстремальных задач, определенных в конечномерном пространстве R n ,
задача вариационного исчисления ставится в бесконечномерном
пространстве функций.
Определение 1.     Простейшей задачей классического вариационного
                                                        1
исчисления называется следующая экстремальная задача в C [t 0 , t 1 ] :
                                   t1
                     J ( x(⋅)) = ∫F (t , x (t ), x (t ))dt → extr
                                   t0                                         (1)
                     x(t 0 ) =x0 , x(t 1 ) =x1 ,
где F(t ,x, x ) - непрерывная функция трёх переменных, дифференцируемая
по двум своим последним аргументам. Экстремум в задаче ищется среди
                    1
функций x(t ) ∈C [t 0 , t 1 ] , удовлетворяющих краевым условиям x(t 0 ) =x0 ,
x(t 1 ) =x1 . Такие функции называются допустимыми.
Определение 2. Допустимая функция xˆ (⋅) называется слабым локальным
минимумом (максимумом) задачи (1), если существует δ >0 такое, что для
любой другой допустимой функции x(⋅) , для которой || x(⋅) −xˆ (⋅) || 1 <δ ,
выполняется неравенство J ( x(⋅)) ≥J ( xˆ (⋅)) (J ( x(⋅)) ≤J ( xˆ (⋅)) ).
За мечани е 1. Иначе говоря, простейшая задача вариационного исчисления
состоит в отыскании слабого экстремума функционала вида (1) на множестве
всех гладких кривых, соединяющих две заданные точки.
Наряду со слабым экстремумом в классическом вариационном исчислении
традиционно рассматривается сильный экстремум. При этом расширяется
класс функций, среди             которых ищется решение задачи. Введем в
                                                        1
рассмотрение пространство кусочно-непрерывных функций KC [t 0 , t 1 ] с
нормой || x (t ) ||0 = max | x(t ) | .
                 t0 ≤t ≤t1
                                          1
Определение 3. Функция xˆ (⋅) ∈KC [t 0 , t 1 ] , удовлетворяющая краевым
условиям x(t 0 ) =x0 ,     , x(t 1 ) =x1 , называется сильным локальным
минимумом (максимумом) задачи (1), если существует δ >0 такое, что для
любой другой допустимой функции x(⋅) , для которой || x(⋅) −xˆ (⋅) || 0 <δ ,
выполняется неравенство J ( x(⋅)) ≥J ( xˆ (⋅)) (J ( x(⋅)) ≤J ( xˆ (⋅)) ).
За мечани е 2. Помимо понятий сильного и слабого локального экстремума
стандартным образом вводится понятие глобального экстремума задачи (1),
то есть функции, доставляющей минимальное (или максимальное) значение
функционалу J ( x(⋅)) среди всех допустимых функций.