Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 64 стр.

                                            64

Теорема. (Необходимое условие экстремума).
Если функция xˆ (⋅) доставляет слабый локальный экстремум в задаче (1), то
                    ∂F
для этой функции        ∈C 1 [t 0 , t 1 ] и выполнено уравнение Эйлера:
                    ∂x
                                d ∂F ∂F
                                          =                             (2)
                               dt ∂x ∂x

За мечани е 3. Если xˆ (⋅) доставляет сильный локальный экстремум в
задаче (1), то из определения следует, что она доставляет и слабый. Поэтому
необходимое условие слабого экстремума является также необходимым
условием сильного экстремума.
Определение 4. Решения уравнения Эйлера, являющиеся допустимыми
функциями, называются допустимыми экстремалями задачи (1).
   Алгоритм решения простейшей задачи вариационного исчисления
  1. Записать необходимое условие экстремума – уравнение Эйлера:
                                d ∂F ∂F
                                      =
                                dt ∂x ∂x
  2. Найти общее решение уравнения Эйлера x (t , C 1 , C 2 ) .
  3. Найти допустимые экстремали, т.е. решения уравнения Эйлера,
     удовлетворяющие заданным краевым условиям x(t 0 ) =x0 , x(t 1 ) =x1 .
  4. Доказать, что решением является одна из допустимых экстремалей, или
     показать, что решения нет.
                                 1
Пример 1.              J ( x (⋅)) =∫x 2 dt → inf; x (0 ) =0, x (1) =1.
                                 0
                           d
  1. Уравнение Эйлера:       2 x =0; или 2 x =0.
                          dt
  2. Общее решение: x =C 1t +C 2 .
  3. x (0 ) =C 2 =0; x(1) =C 1 =1. Таким образом, имеется единственная
     допустимая экстремаль xˆ (t ) =t .
  4. Покажем, что эта экстремаль доставляет глобальный минимум в
     данной задаче. Действительно, возьмем произвольную допустимую в
     этой         задаче         функцию         x(t ) . В таком случае
      x(t ) ∈C 1 [0,1], x(0 ) =0, x(1) =1.
      Обозначим h(t ) =x(t ) −xˆ (t ). Тогда h(0) =h(1) =0 .
                                     1             1        1         1
       J ( x(⋅)) =J ( xˆ (⋅) +h(⋅)) =∫(1 +h) 2 dt =∫dt +2 ∫hdt ++∫h 2 dt =
                                     0             0        0         0
                   1
       =J ( xˆ (⋅)) +∫h 2 dt ≥J ( xˆ (⋅)) Следовательно, функция xˆ (t ) =t    является
                   0
  глобальным минимумом.