Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

66
Задача Больца
Определение 5. Задачей Больца называется следующая экстремальная
задача без ограничений в
],[
10
1
ttC
()
∫
→+=⋅
1
0
t
t
10
extrtxtxfdttxtxtFxB )(),())(),(,())((
&
, (5)
где
(
)
)(),(
10
txtxf - функция, дифференцируемая по каждой из двух своих
переменных.
Определение 6. Функция
∈
⋅
)(
ˆ
x
],[
10
1
ttC
называется слабым локальным
минимумом (максимумом) задачи (5), если существует
0
>
δ
такое, что для
любой другой функции
∈
⋅
)
(
],[
10
1
ttC
для которой
δ
<
⋅
−
⋅
1
xx ||)(
ˆ
)(|| ,
выполняется неравенство
))(
ˆ
())((
⋅
≥
⋅
xBxB
(
)
))(
ˆ
())((
⋅
≤
⋅
xBxB
.
Теорема . (Необходимые условия экстремума).
Если функция )(
ˆ
⋅
x доставляет слабый локальный экстремум в задаче (5), то
для этой функции ],[
10
1
ttC
F
∈
∂
∂
&
и выполнены :
a) уравнение Эйлера:
F
F
dt
d
∂
∂
=
∂
∂
&
;
b) условия трансверсальности :
.
)(
)(;
)(
)(
1
1
0
0
tx
f
t
x
F
tx
f
t
x
F
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
&&
(6)
Определение 7. Решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие условиям
трансверсальности , называют допустимыми экстремалями задачи (5).
Алгоритм решения задачи Больца
1. Записать необходимые условия экстремума:
a) уравнение Эйлера:
F
F
dt
d
∂
∂
=
∂
∂
&
b) условия трансверсальности :
.
)(
)(;
)(
)(
1
1
0
0
tx
f
t
x
F
tx
f
t
x
F
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
&&
2. Найти общее решение уравнения Эйлера
),,(
21
CCtx
.
3. Среди всех решений уравнения выбрать те, которые удовлетворяют
условиям трансверсальности .
4. Доказать, что решением является одна из допустимых экстремалей , или
показать, что решения нет.
Пример 4.
∫
→+−=⋅
1
0
22
extr1xdtxxxB1 .)()())(()
&&
                                                 66

                                 Задача Больца
 Определение 5.         Задачей Больца называется следующая экстремальная
                          1
задача без ограничений в C [t 0 , t 1 ]
                       t1
           B( x(⋅)) =∫F (t , x(t ), x (t )) dt + f (x(t 0 ), x(t 1 ) ) → extr ,   (5)
                       t0
где f (x(t0 ), x(t1 ) ) - функция, дифференцируемая по каждой из двух своих
переменных.
                                             1
Определение 6. Функция x̂(⋅) ∈C [t 0 , t 1 ] называется слабым локальным
минимумом (максимумом) задачи (5), если существует δ >0 такое, что для
                                           1
любой другой функции x(⋅) ∈C [t 0 , t 1 ] для которой || x(⋅) −xˆ (⋅) || 1 <δ ,
выполняется неравенство B ( x(⋅)) ≥B ( xˆ (⋅)) (B ( x(⋅)) ≤B ( xˆ (⋅)) ).
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция xˆ (⋅) доставляет слабый локальный экстремум в задаче (5), то
                    ∂F
для этой функции        ∈C 1 [t 0 , t 1 ] и выполнены:
                    ∂x
                                     d ∂F ∂F
        a) уравнение Эйлера:                  = ;
                                    dt ∂x ∂x
        b) условия трансверсальности:
                     ∂F              ∂f        ∂F            ∂f
                         (t 0 ) =           ;      (t 1 ) =−         .      (6)
                     ∂x         ∂x(t 0 )      ∂x          ∂x(t 1 )
Определение 7. Решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие условиям
трансверсальности, называют допустимыми экстремалями задачи (5).

                        Алгоритм решения задачи Больца
   1. Записать необходимые условия экстремума:
                             d ∂F ∂F
        a) уравнение Эйлера:       =
                             dt ∂x ∂x
                                       ∂F             ∂f       ∂F            ∂f
        b) условия трансверсальности:      (t 0 ) =          ;     (t 1 ) =−         .
                                       ∂x          ∂x(t 0 )   ∂x          ∂x(t 1 )

   2. Найти общее решение уравнения Эйлера x(t , C 1 , C 2 ) .
   3. Среди всех решений уравнения выбрать те, которые удовлетворяют
      условиям трансверсальности.
   4. Доказать, что решением является одна из допустимых экстремалей, или
      показать, что решения нет.
                                    1
Пример 4.          1) B( x (⋅)) =∫( x 2 −x)dt +x 2 (1) → extr .
                                   0

Страницы