Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 67 стр.

                                                   67

     1. Подынтегральная функция не зависит явно от t, поэтому уравнение
        Эйлера можно записать в виде: x ⋅ 2 x −x 2 +x =C , или x 2 +x =C ; .
              Условия трансверсальности в данной задаче имеют вид:
        �� 8 x (0) x 2 (0 ) =4 x 3 (0)
          �
            �� 8 x (3) x 2 (3) =8
                                         t2
     2. Общее решение: x =− +C 1t +C 2 .
                                          4
     3. Единственная                 экстремаль,   удовлетворяющая                условиям
                                               2
                                             t   3
        трансверсальности: xˆ (t ) =− +
                                              4 4
     4. Покажем, что эта экстремаль доставляет глобальный минимум в
        данной задаче. Действительно, возьмем произвольную функцию
              h(t ) ∈C 1 [0,1] и сравним значения B ( xˆ (⋅)) и B ( xˆ (⋅) +h(⋅))
                                  1            1            1
     B ( xˆ (⋅) +h(⋅)) −B( xˆ (⋅)) =∫(−th)dt +∫h 2 dt −∫hdt +h(1) +h 2 (1)
                                  0            0            0
     Применив интегрирование по частям в первом интеграле, получаем:
                                               1        1         1
     B ( xˆ (⋅) +h(⋅)) −B ( xˆ (⋅)) =−th(t ) 0 +∫hdt +∫h 2 dt −∫hdt +h(1) +h 2 (1) =
                                          1

                                               0        0         0
       1
     =∫h 2 dt +h 2 (1) ≥0
       0
                                    t2 3
   Следовательно, функция xˆ (t ) =− + является глобальным минимумом
                                     4 4
в данной задаче.

                          Задачи для самостоятельного решения
1. Найти допустимые экстремали в простейших задачах вариационного
исчисления :
                1
1)    J ( x (⋅)) =∫( x 2 +tx) dt → extr ; x(0 ) =0, x(1) =0.
                0
                1
2) J ( x (⋅)) =∫(−x 2 +t 2 x )dt → extr; x(0) =0, x(1) =0.
                0
                3/2
3)    J ( x (⋅)) = ∫( x 3 +2 x) dt → extr ; x (0 ) =0, x( 32 ) =1.
                 0
                π /4
4 ) J ( x (⋅)) = ∫(4 x 2 −x 2 )dt → extr; x(0) =1, x( π4 ) =0.
                    0