Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 65 стр.

                                                            65

    За мечани е 4. Аналогичным образом можно сформулировать алгоритм
    решения простейшей векторной задачи классического вариационного
    исчисления.            Пусть               в   задаче      (1)   x(⋅) =( x1 (⋅),...x n (⋅)) ,
    F =F (t , x1 ,.., x n , x 1 ,.., x n ) - функция 2n +1 переменных. Необходимые
    условия в простейшей векторной задаче состоят из системы уравнений
              d ∂F ∂F
    Эйлера              =           , i =1, n .
              dt ∂x i ∂xi
                             Частные случаи уравнения Эйлера
      Если функция F(t ,x, x ) не зависит явно от одной из своих переменных,
то уравнение Эйлера допускает понижение порядка, то есть сводится к более
простому уравнению.
I. Если функция F(t ,x, x ) не зависит явно от x, то уравнение Эйлера сводится
   к уравнению:
                                                    ∂F
                                                        =const                               (3)
                                                    ∂x
                                     1
Пример 2.             J ( x (⋅)) =∫t 2 x 2 dt → inf; x(0) =0, x(1) =1.
                                    0
 Подынтегральная функция не зависит явно от x, поэтому уравнение Эйлера
имеет вид: 2t 2 x =C .
                          C
  1. Общее решение: x = 1 +C 2 .
                            t
  2. Экстремали, удовлетворяющей краевому условию x(0) =0 , не существует
  3. Данная задача не имеет решения.
II. Если функция F(t ,x, x ) не зависит явно от t, то уравнение Эйлера можно
     переписать в виде
                           ∂F
                        x      −F (t , x, x ) =const                     (4)
                            ∂x
                                    3π / 2
Пример 3.             J ( x (⋅)) =      ∫( x
                                                 2
                                                     −x 2 ) dt → inf; x(0) =0, x( 32π ) =0.
                                         0
   1. Подынтегральная функция не зависит явно от t, поэтому уравнение
      Эйлера можно записать в виде: x ⋅ 2 x −x 2 +x 2 =C , или x 2 =C −x 2 .
   2. Общее решение: x =C 1 sin(t +C 2 ) .
   3. Единственная допустимая экстремаль xˆ =0 .
   4. Покажем, что эта экстремаль не доставляет минимума в данной задаче.
      Рассмотрим последовательность функций x n (t ) =n1 sin 23t . Очевидно,
       что x n −допустимые функции и x n → xˆ ≡0 в C 1 [0, 3π 2 ] , но при этом
                           3π
       J ( x n (⋅)) = 12    4
                                ( 49 −1) =− 5π2 <0 =J ( xˆ (⋅)) .
                     n                               12 n
Из этого примера видно, что уравнение Эйлера – необходимое, но не
достаточное условие экстремума.