Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 4 стр.

a1 , a2 , ..., an . Подобная запись может использоваться и для описания бес-
конечных множеств. Например, можно записать N = {1, 2, ..., n, ...}, Z =
= {0, −1, 1, ..., −n, n, ...}.
    Множество, состоящее из одного элемента a, называется одноэлементным
и обозначается {a}. При этом символы a и {a} обозначают объекты разной
природы. Например, для натуральных чисел a = 1 и a = 2 можно опреде-
лить арифметические операции 1 + 2, 1 − 2, 1 · 2, 1 : 2, в то же время {1} и
{2} − одноэлементные множества, арифметические операции над которыми
не определяются. Предположим теперь, что множество задано указанием
характеристического свойства его элементов, сформулированного в виде
некоторой фразы или формулы P. В этом случае множество может быть
записано в виде A = {x : P} или A = {x| P}. Запись A = {x ∈ U : P}
или A = {x ∈ U | P} означает, что множество A состоит из тех элементов
множества U , которые удовлетворяют условию P.
    Например, {x ∈ R : 3x2 + 2x − 1 = 0} − множество вещественных кор-
ней уравнения 3x2 + 2x − 1 = 0, {x ∈ Z : 3x2 + 2x − 1 = 0} − множество
целочисленных корней уравнения 3x2 + 2x − 1 = 0, {x ∈ Z : x2 ∈ Z} −
множество четных чисел, {x ∈ Z : x > 0} − множество натуральных чисел,
{(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y + 2)2 ≤ 1} − множество всех точек круга радиуса
1 с центром в точке A(1, −2).

1.2.   Отношения между множествами
    Пусть любой элемент множества A является элементом множества B.
В этом случае говорят, что A является подмножеством множества B, B
включает (содержит) множество A или A вложено в множество B, и за-
писывают A ⊆ B (B ⊇ A). Запись A � B (B � A) означает, что A не
является подмножеством B. Из сказанного следует, что всякое множест-
во является подмножеством самого себя. Cчитается, что пустое множество
вложено в любое другое множество, в том числе и в себя. Для произвольного
множества A множества A и ∅ называются несобственными подмножест-
вами множества A, остальные подмножества называются собственными.
Множества A и B называются равными, если они состоят из одних тех же
элементов (пишут A = B). На практике удобно пользоваться эквивалентной
формулировкой равенства множеств: A = B, если A ⊆ B и B ⊆ A. Чтобы
подчеркнуть, что A является подмножеством множества B, не совпадаю-
щим с множеством B, используется запись: A ⊂ B (B ⊃ A) или A � B
(B � A). Заметим, что символы ∈ и ⊆ различаются по способу их примене-
ния. Первый используется для указания связи между элементом и множест-
вом, второй − для указания связи между двумя множествами. Так, если

                                     4