Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

A = {1; {2; 3}}, то запись {2; 3} ∈ A верна, а запись {2; 3} ⊆ A неверна, так
как числа 2 и 3 не являются элементами множества A.
1.3. Операции над множествами
Определение 1.1. Объединением множеств A и B называется множество,
обозначаемое A ∪ B, которое состоит из всех элементов, принадлежащих
хотя бы одному из множеств A или B.
Определение 1.2. Пересечением множеств A и B называется множество,
обозначаемое A ∩ B, которое состоит из всех элементов, принадлежащих
обоим множествам A и B.
Объединением множеств A
1
, A
2
, ..., A
n
называется множество, определя-
емое равенством
n
S
k=1
A
k
= {x : x ∈ A
1
или x ∈ A
2
или ... или x ∈ A
n
}. Пере-
сечением множеств называется множество, которое определяется равенст-
вом
n
T
k=1
A
k
= {x : x ∈ A
1
и x ∈ A
2
и ... и x ∈ A
n
}. Аналогично определяется
объединение и пересечение бесконечного набора множеств A
1
, A
2
, ..., A
n
, ...:
[
k∈N
A
k
=
∞
[
k=1
A
k
= {x : x ∈ A
1
или x ∈ A
2
или ... или x ∈ A
n
...},
\
k∈N
A
k
=
∞
\
k=1
A
k
= {x : x ∈ A
1
и x ∈ A
2
и ... и x ∈ A
n
...}.
Определение 1.3. Разностью множеств A и B называется множество, об-
означаемое A \B, которое состоит из элементов множества A, не принадле-
жащих множеству B. То есть, A \ B = {x : x ∈ A и x /∈ B}.
Определение 1.4. Если B ⊆ A, то разность A\B называется дополнением
множества B до множества A и обозначается C
A
B или CB, если ясно, что
понимается под множеством A.
Определение 1.5. Симметрической разностью множеств A и B называется
множество, которое определяется равенством A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Пример 1.6. Пусть A = {−1; −2; 1; 2}, B = {0; 1; 2} . Тогда A∩B = {1; 2},
A∪B = {−1; −2; 0; 1; 2}, A\B = {−1; −2}, B\A = {0}, A4B = {−1; −2; 0}.
Пример 1.7. Пусть A = [−1, 2), B = (0, 3]. Тогда A ∪B = [−1, 3], A ∩B =
= (0, 2), A \ B = [−1, 0], B \ A = [2, 3], A 4 B = [−1, 0] ∪ [2, 3].
5
A = {1; {2; 3}}, то запись {2; 3} ∈ A верна, а запись {2; 3} ⊆ A неверна, так
как числа 2 и 3 не являются элементами множества A.

1.3.     Операции над множествами
Определение 1.1. Объединением множеств A и B называется множество,
обозначаемое A ∪ B, которое состоит из всех элементов, принадлежащих
хотя бы одному из множеств A или B.
Определение 1.2. Пересечением множеств A и B называется множество,
обозначаемое A ∩ B, которое состоит из всех элементов, принадлежащих
обоим множествам A и B.
   Объединением множеств A1 , A2 , ..., An называется множество, определя-
                 �
                 n
емое равенством     Ak = {x : x ∈ A1 или x ∈ A2 или ... или x ∈ An }. Пере-
                k=1
сечением множеств называется множество, которое определяется равенст-
     �
     n
вом    Ak = {x : x ∈ A1 и x ∈ A2 и ... и x ∈ An }. Аналогично определяется
       k=1
объединение и пересечение бесконечного набора множеств A 1 , A2 , ..., An , ...:
         �           ∞
                     �
              Ak =         Ak = {x : x ∈ A1 или x ∈ A2 или ... или x ∈ An ...},
        k∈N          k=1

              �            ∞
                           �
                    Ak =         Ak = {x : x ∈ A1 и x ∈ A2 и ... и x ∈ An ...}.
              k∈N          k=1

Определение 1.3. Разностью множеств A и B называется множество, об-
означаемое A \ B, которое состоит из элементов множества A, не принадле-
жащих множеству B. То есть, A \ B = {x : x ∈ A и x ∈/ B}.
Определение 1.4. Если B ⊆ A, то разность A\B называется дополнением
множества B до множества A и обозначается CA B или CB, если ясно, что
понимается под множеством A.
Определение 1.5. Симметрической разностью множеств A и B называется
множество, которое определяется равенством A � B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Пример 1.6. Пусть A = {−1; −2; 1; 2}, B = {0; 1; 2} . Тогда A ∩ B = {1; 2},
A∪B = {−1; −2; 0; 1; 2}, A\B = {−1; −2}, B\A = {0}, A�B = {−1; −2; 0}.
Пример 1.7. Пусть A = [−1, 2), B = (0, 3]. Тогда A ∪ B = [−1, 3], A ∩ B =
= (0, 2), A \ B = [−1, 0], B \ A = [2, 3], A � B = [−1, 0] ∪ [2, 3].


                                                5

Страницы