Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 7 стр.

1.4.   Отношения эквивалентности и порядка
Определение 1.10. Декартовым произведением двух множеств M и N
называется множество M × N всех упорядоченных пар (a, b), где a ∈ M ,
b ∈ N . Упорядоченность означает, что первый элемент пары берется из
множества M , второй элемент − из множества N .
Определение 1.11. Пусть R − некоторое подмножество множества
M × M . Говорят, что элементы a ∈ A и b ∈ B находятся в отношении
R, если (a, b) ∈ R. В этом случае будем писать aRb. Таким образом, aRb ⇔
⇔ (a, b) ∈ R. Заданное таким способом отношение R называется бинарным
отношением в множестве M .
Определение 1.12. Бинарное отношение R в множестве M называется от-
ношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим условиям:
   1) aRa для всех a ∈ M , другими словами, (a, a) ∈ R для всех a ∈ M
(рефлексивность);
   2) если aRb и bRc, то aRc, другими словами, если (a, b) ∈ R и (b, c) ∈ R,
то (a, c) ∈ R (транзитивность);
   3) если aRb, то bRa, другими словами, если (a, b) ∈ R, то (b, a) ∈ R
(симметричность).
    Если бинарное отношение R в множестве M является отношением эк-
вивалентности, то вместо записи aRb будем использовать запись a ∼ b,
a, b ∈ M . Определение на множестве некоторого отношения эквивалент-
ности ∼ задает разбиение множества на непересекающиеся подмножества,
называемые классами эквивалентности. Каждому классу эквивалентности
принадлежат все элементы множества M , находящиеся друг к другу в отно-
шении ∼. Множество всех классов эквивалентности, построенных по отно-
шению эквивалентности R, называется фактор-множеством множества M
и обозначается M/R.
Пример 1.13. 1) На множестве всех прямых на плоскости определим от-
ношение эквивалентности по правилу: l1 ∼ l2 ⇔ l1 совпадает с l2 или l1 ||l2
для любых двух прямых.
   2) На множестве всех треугольников на плоскости определим отношение
эквивалентности по правилу: � A1 B1 C1 ∼ A2 B2 C2 ⇔� A1 B1 C1 подобен
� A2 B2 C2 . Равные треугольники считаются подобными с коэффициентом
подобия 1.
                                                −→
   3) На множестве всех направленных отрезков AB пространства опреде-
                                                    −−−→ −−−→
лим отношение эквивалентности по правилу: отрезки A1 B1 и A2 B2 являются
                               −−−→ −−−→
эквивалентными (записывается A1 B1 ∼ A2 B2 ), если они имеют одинаковую

                                     7