Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 8 стр.

длину и направление. Каждый класс эквивалентности состоит из всех оди-
наково направленных отрезков одинаковой длины.
   4) На множестве Z определим отношение эквивалентности следующим
образом: для n, m ∈ Z: n ∼ m ⇔ n − m делится на 3. Фактор-множество
состоит из трех классов M0 , M1 , M2 . К классу Mi относятся все числа,
которые делятся на 3 с остатком i, для i = 0, 1, 2.
   5) Рассмотрим множество F − всех функций, определенных на R. Для
любых двух функций f, g ∈ F будем считать, что f ∼ g ⇔ g и f совпадают
или отличаются друг от друга в конечном числе точек.
  Отношение эквивалентности обобщает понятие равенства (чисел, векто-
ров и т. п.): эквивалентные элементы могут рассматриваться в некотором
смысле «равными». Обобщением понятия неравенства является отношение
порядка.
Определение 1.14. Бинарное отношение R в множестве M называется
частичным порядком, если оно является рефлексивным, транзитивным и
антисимметричным (то есть из того, что aRb и bRa, следует, что a = b).
   Для обозначения отношения частичного порядка используется символ
�: запись a � b означает, что элемент a находится в отношении частичного
порядка к элементу b. Элементы a и b называются сравнимыми, если a � b
или b � a.
Определение 1.15. Множество с заданным в нем отношением частичного
порядка называется частично упорядоченным множеством. Чтобы подчерк-
нуть тот факт, что в M задан частичный порядок � , будем использовать
запись {M, �}. Частично упорядоченное множество называется линейно
упорядоченным, если для любых двух элементов a, b ∈ M выполняется
a � b или b � a .
Пример 1.16. Рассмотрим примеры задания отношения порядка на раз-
личных множествах:
   1) множество R (Q или N), на котором порядок � задается обычным
сравнением чисел: a � b ⇔ a ≤ b;
   2) множество {N, �}, где a � b означает, что b делится на a;
   3) множество {R3 , �}, где a � b для a(a1 a2 , a3 ), b(b1 , b2 , b3 ) означает, что
a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 , a3 ≤ b3 ;
   4) множество всех подмножеств некоторого множества M , с порядком �,
определенным по включению: a � b ⇔ a ⊆ b для a, b ⊆ M .
Упражнение 1. Указать, какие из рассмотренных в примере 1.16 множеств
являются частично упорядоченными, а какие − линейно упорядоченными.

                                          8