Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 10 стр.

элемент x ∈ X, который является прообразом элемента y при отображении
f : X → Y , то есть для любого y ∈ Y1 выполнено равенство f −1 (y) = x,
где f (x) = y. Построенное таким образом отображение f −1 называется
обратным к отображению f . Из сказанного следует, что отображение, об-
ратное к f −1 , совпадает с f , то есть (f −1 )−1 = f .
   Заметим, что символ f −1 (y) может обозначать и прообраз элемента x
при отображении f , и образ элемента y при обратном отображении f −1 . В
первом случае f −1 (y) является одноэлементным множеством {x}, во втором
f −1 (y) является элементом x ∈ X. Однако, если обратное отображение f −1
существует, то обе приведенные трактовки символа f −1 (y) по сути совпада-
ют (то есть мы не делаем в этом случае различия между {x} и x). Поэтому
использование записи f −1 (y) не приводит к каким-либо недоразумениям.
   Нетрудно проверить, что если отображение f : X → Y является би-
ективным, то f −1 : Y → X так же будет биекцией. Поэтому когда речь
идет о взаимно однозначном соответствии между двумя множествами, часто
бывает не важно, какое множество является областью определения, а какое
образом рассматриваемого отображения.
Пример 1.18. 1) Пусть X = Y = Z, f : X → Y определим по правилу
f (n) = 2n для каждого n ∈ Z. Отображение f является инъективным, но не
является сюръективным, так как f −1 (y) = ∅ для каждого нечетного y ∈ Y .
   2) Пусть X = Z, Y = {k = 2n : n ∈ Z}. Отображение f : X → Y ,
заданное как и в 1) равенством f (n) = 2n для каждого n ∈ Z, является
биективным, и обратное к нему определяется по правилу f −1 (k) = k2 для
всех k ∈ Y .

1.6.   Мощность множества
Определение 1.19. Множества A и B называются равномощными (имеют
одинаковую мощность), если между ними можно установить взаимно одно-
значное соответствие. Если множества A и B равномощны, то будем писать
|A| = |B|. Будем считать, что |A| = |∅| ⇔ A = ∅.
   Заметим, что отображение в определении 1.19 выбирается не однозначно.
Для конечных множеств верен следующий результат, доказательство кото-
рого мы оставляем читателям.
Предложение 1.20. Пусть A = {a1 , ..., an } и B = {b1 , ..., bm }. Тогда |A| =
 = |B| ⇔ n = m. При выполнении условия n = m существует n! взаимно
однозначных отображений f : A → B.
  Мощность множества задает отношение эквивалентности на множестве
2M всех подмножеств множества M следующим образом: для множеств

                                      10