Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 9 стр.

1.5.   Отображение множеств
    Пусть X и Y − некоторые непустые множества. Если каждому элементу
x ∈ X по некоторому правилу или закону (который мы обозначим символом
f ) поставлен в соответствие единственный элемент y ∈ Y , то говорят, что
задано отображение множества X в множество Y . Отображение из X в
                                           f
Y будем обозначать f : X → Y , X → Y или кратко f . Множество X
называется областью определения отображения f . Запись y = f (x), где
x ∈ X, y ∈ Y , означает, что отображение f ставит в соответствие элементу
x элемент y. В этом случае y называется образом элемента x (при отобра-
жении f ). Для X1 ⊆ X множество {y = f (x) : x ∈ X1 } называется образом
множества X1 и обозначается f (X1 ), множество f (X) называется образом
отображения f . Для фиксированного y ∈ Y каждый элемент x ∈ X такой,
что y = f (x), называется прообразом элемента y. Для каждого y ∈ Y ,
множество {x ∈ X : y = f (x)} называется полным прообразом элемента
y и обозначается f −1 (y). При этом не исключается, что f −1 (y) = ∅ для
некоторых y ∈ Y . Например, для отображения f : R → R, заданного
правилом f (x) = x2 , равенство f −1 (y) = ∅ выполнено для всех y < 0.
Пусть Y1 ⊆ Y , тогда множество {x ∈ X : f (x) ∈ Y1 } называется прообразом
множества Y1 . Если для каждого y ∈ Y множество f −1 (y) не пусто, то
говорят, что f отображает X на Y . Такое отображение называется сюръек-
тивным (суръекцией). Если для любых различных элементов x 1 , x2 ∈ X их
образы f (x1 ), f (x2 ) ∈ Y различны, отображение f называется инъективным
(инъекцией). Отображение f : X → Y , которое является сюръекцией и
инъекцией одновременно, называется биективным отображением (биекци-
ей) или взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y .
    Важные свойства отображений заключены в следующей теореме.
Теорема 1.17. Для произвольных множеств X1 и X2 , входящих в область
определения отображения f , выполняются следующие соотношения:
  1) f (X1 ∪ X2 ) = f (X1 ) ∪ f (X2 );
  2) f −1 (X1 ∪ X2 ) = f −1 (X1 ) ∪ f −1 (X2 );
  3) f −1 (X1 ∩ X2 ) = f −1 (X1 ) ∩ f −1 (X2 ).
   Предположим, что заданы два отображения f : X → Y и g : Y → Z.
Отображение h : X → Z, определяемое по правилу h(x) = g(f (x)), x ∈ X,
называется сложным отображением, композицией или суперпозицией отоб-
ражений f и g и обозначается g ◦ f .
   Если f : X → Y − инъективное отображение, образ которого Y 1 =
= f (X) ⊆ Y , то существует отображение f −1 : Y1 → X множества Y1
на множество X, которое каждому y ∈ Y1 ставит в соответствие такой

                                    9