Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

M
1
⊆ M, M
2
⊆ M будем считать, что M
1
∼ M
2
⇔ |M
1
| = |M
2
|. Действи-
тельно, выполнение условий 1), 3) определения 1.12 вытекает из опреде-
ления взаимно однозначного соответствия. Для доказательства условия 2)
возьмем множества A, B, C, связанные соотношениями |A| = |B| и |B| =
= |C|. Это означает, что существуют взаимно однозначные отображения
f : A → B и g : B → C. Тогда сложное отображение g ◦f : A → C является
взаимно однозначным и, следовательно, |A| = |C|.
Теорема 1.21 (Кантор − Бернштейн). Для произвольных множеств
A и B следующие условия эквивалентны:
1) A и B имеют одинаковую мощность;
2) существуют подмножества A
1
⊆ A, B
1
⊆ B такие, что |A
1
| = |B|
и |B
1
| = |A|.
Условие 2) теоремы 1.21 естественным образом приводит к способу срав-
нения мощностей множеств.
Определение 1.22. Говорят, что мощность множества A больше мощности
множества B, если выполнены два условия:
1) существует такое подмножество A
1
⊆ A, что |A
1
| = |B|;
2) между множествами A и B нельзя установить взаимно однозначного
соответствия.
Если мощность множества A больше мощности множества B, то пишут
|A| > |B| или |B| < |A| (мощность B меньше мощности A). Запись |A| ≥ |B|
(так же как и запись |B| ≤ |A|) означает выполнение одного из условий
|A| = |B| или |A| > |B|.
Определение 1.23. Множество, эквивалентное N, называется счетным.
Мощность конечного множества считается равной числу элементов, из ко-
торых оно состоит.
Следующее утверждение имеет очевидную формулировку и достаточно
непростое доказательство, которое мы здесь не приводим.
Теорема 1.24 (Кантор − Бернштейн). Если |A| ≥ |B| и |B| ≥ |A|, то
|A| = |B|.
Используя теорему 1.24, можно показать, что операция сравнения мощ-
ностей множеств задает отношение частичного порядка на множестве всех
подмножеств любого множества M, если положить, что A ¹ B ⇔ |A| ≤ |B|.
Более подробнее некоторые аспекты теории множеств изложены, напри-
мер, в [2]. Там же можно найти доказательство некоторых сформулиро-
ванных в этом разделе результатов и упражнения для самостоятельного
решения.
11
M1 ⊆ M, M2 ⊆ M будем считать, что M1 ∼ M2 ⇔ |M1 | = |M2 |. Действи-
тельно, выполнение условий 1), 3) определения 1.12 вытекает из опреде-
ления взаимно однозначного соответствия. Для доказательства условия 2)
возьмем множества A, B, C, связанные соотношениями |A| = |B| и |B| =
 = |C|. Это означает, что существуют взаимно однозначные отображения
f : A → B и g : B → C. Тогда сложное отображение g ◦ f : A → C является
взаимно однозначным и, следовательно, |A| = |C|.
Теорема 1.21 (Кантор − Бернштейн). Для произвольных множеств
A и B следующие условия эквивалентны:
   1) A и B имеют одинаковую мощность;
   2) существуют подмножества A1 ⊆ A, B1 ⊆ B такие, что |A1 | = |B|
и |B1 | = |A|.
   Условие 2) теоремы 1.21 естественным образом приводит к способу срав-
нения мощностей множеств.
Определение 1.22. Говорят, что мощность множества A больше мощности
множества B, если выполнены два условия:
   1) существует такое подмножество A1 ⊆ A, что |A1 | = |B|;
   2) между множествами A и B нельзя установить взаимно однозначного
соответствия.
   Если мощность множества A больше мощности множества B, то пишут
|A| > |B| или |B| < |A| (мощность B меньше мощности A). Запись |A| ≥ |B|
(так же как и запись |B| ≤ |A|) означает выполнение одного из условий
|A| = |B| или |A| > |B|.
Определение 1.23. Множество, эквивалентное N, называется счетным.
Мощность конечного множества считается равной числу элементов, из ко-
торых оно состоит.
   Следующее утверждение имеет очевидную формулировку и достаточно
непростое доказательство, которое мы здесь не приводим.
Теорема 1.24 (Кантор − Бернштейн). Если |A| ≥ |B| и |B| ≥ |A|, то
|A| = |B|.
   Используя теорему 1.24, можно показать, что операция сравнения мощ-
ностей множеств задает отношение частичного порядка на множестве всех
подмножеств любого множества M , если положить, что A � B ⇔ |A| ≤ |B|.
   Более подробнее некоторые аспекты теории множеств изложены, напри-
мер, в [2]. Там же можно найти доказательство некоторых сформулиро-
ванных в этом разделе результатов и упражнения для самостоятельного
решения.

                                   11

Страницы