Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Свойства операций над множествами:
1) A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅;
2) коммутативность
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩A;
3) ассоциативность
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
4) дистрибутивность
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
5) идемпотентность
A ∪ A = A, A ∩ A = A.
Замечание 1.8. 1) Скобки, как и в случае действий над числами, определяют
порядок выполнения операций над множествами.
2) Если в свойствах 1) − 3) и во втором равенстве из 4) считать A, B, C
числами (при этом ∅ рассматривается как 0) и заменить символы ∪ и ∩
соответственно на знаки + и ×, то получим хорошо известные свойства
арифметических операций над числами. В то же время первое равенство
в свойстве 4) и оба равенства в свойстве 5) не имеют подобного аналога.
Свойства 1) − 5) вполне очевидны, и их доказательства рекомендуется
провести читателям самостоятельно. Следующие свойства менее очевидны,
поэтому сформулируем их в виде теоремы и приведем ее доказательство.
Теорема 1.9 (де Морган). Для произвольных множеств A ⊆ U и B ⊆ U
выполняются соотношения C(A ∪ B) = CA ∩ CB, C(A ∩ B) = CA ∪ CB.
Доказательство. Докажем первое равенство:
а) x ∈ C(A ∪ B) ⇒ x /∈ A ∪ B ⇒ x /∈ A и x /∈ B ⇒ x ∈ CA и x ∈ CB ⇒
⇒ x ∈ CA ∩ CB ⇒ C(A ∪ B) ⊆ CA ∩ CB.
б) x ∈ CA ∩ CB ⇒ x ∈ CA и x ∈ CB ⇒ x /∈ A и x /∈ B ⇒ x /∈ A ∪ B ⇒
⇒ x ∈ C(A ∪ B) ⇒ CA ∩ CB ⊆ C(A ∪ B).
Из а) и б) с учетом определения равенства множеств следует выполнение
равенства C(A∪B) = CA∩CB. Второе равенство доказывается аналогично.
Аналогичный результат верен для любого набора подмножеств некото-
рого множества U. А именно, имеют место следующие равенства:
C(
[
α∈Λ
A
α
) =
\
α∈Λ
CA
α
, C(
\
α∈Λ
A
α
) =
[
α∈Λ
CA
α
, A
α
⊆ U, α ∈ Λ.
В приведенных равенствах запись α ∈ Λ означает, что индекс α пробегает
некоторое множество Λ (выше мы использовали это обозначение в случае
Λ = N).
6
  Свойства операций над множествами:
  1) A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅;
  2) коммутативность
  A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A;
  3) ассоциативность
  (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
  4) дистрибутивность
  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
  5) идемпотентность
  A ∪ A = A, A ∩ A = A.
Замечание 1.8. 1) Скобки, как и в случае действий над числами, определяют
порядок выполнения операций над множествами.
   2) Если в свойствах 1) − 3) и во втором равенстве из 4) считать A, B, C
числами (при этом ∅ рассматривается как 0) и заменить символы ∪ и ∩
соответственно на знаки + и ×, то получим хорошо известные свойства
арифметических операций над числами. В то же время первое равенство
в свойстве 4) и оба равенства в свойстве 5) не имеют подобного аналога.
Свойства 1) − 5) вполне очевидны, и их доказательства рекомендуется
провести читателям самостоятельно. Следующие свойства менее очевидны,
поэтому сформулируем их в виде теоремы и приведем ее доказательство.
Теорема 1.9 (де Морган). Для произвольных множеств A ⊆ U и B ⊆ U
выполняются соотношения C(A ∪ B) = CA ∩ CB, C(A ∩ B) = CA ∪ CB.
Доказательство. Докажем первое равенство:
  а) x ∈ C(A ∪ B) ⇒ x ∈ / A∪B ⇒x∈    /Aиx∈   / B ⇒ x ∈ CA и x ∈ CB ⇒
⇒ x ∈ CA ∩ CB ⇒ C(A ∪ B) ⊆ CA ∩ CB.
  б) x ∈ CA ∩ CB ⇒ x ∈ CA и x ∈ CB ⇒ x ∈    /Aиx∈  /B⇒x∈     / A∪B ⇒
⇒ x ∈ C(A ∪ B) ⇒ CA ∩ CB ⊆ C(A ∪ B).
  Из а) и б) с учетом определения равенства множеств следует выполнение
равенства C(A∪B) = CA∩CB. Второе равенство доказывается аналогично.


   Аналогичный результат верен для любого набора подмножеств некото-
рого множества U . А именно, имеют место следующие равенства:
          �         �           �        �
       C(   Aα ) =     CAα , C(   Aα ) =   CAα , Aα ⊆ U, α ∈ Λ.
         α∈Λ       α∈Λ         α∈Λ       α∈Λ

   В приведенных равенствах запись α ∈ Λ означает, что индекс α пробегает
некоторое множество Λ (выше мы использовали это обозначение в случае
Λ = N).

                                     6

Страницы