Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. По определению 4.16 най-
дутся числа n
1
∈ N и n
2
∈ N такие, что
a − ε < x
n
< a + ε для n ≥ n
1
,
a − ε < z
n
< a + ε для n ≥ n
2
.
Тогда для n
0
≥ max{n
0
, n
1
, n
2
} выполнено условие
a − ε < x
n
≤ y
n
≤ z
n
< a + ε.
Следовательно, lim
n→∞
y
n
= a.
Теорема 4.29. Пусть существует n
0
∈ N такое, что
x
n
≤ y
n
для всех n ≥ n
0
.
Тогда,
1) если lim
n→∞
x
n
= +∞, то lim
n→∞
y
n
= +∞;
2) если lim
n→∞
y
n
= −∞, то lim
n→∞
x
n
= −∞.
Доказательство этой теоремы опирается на (10) и (11) и в целом анало-
гично доказательству предыдущей теоремы.
Теорема 4.30. Пусть
lim
n→∞
x
n
< lim
n→∞
y
n
.
Тогда существует такое n
0
∈ N, что неравенство x
n
< y
m
выполнено
для всех n ≥ n
0
и m ≥ n
0
.
Доказательство. Обозначим lim
n→∞
x
n
= a ∈ R, lim
n→∞
y
n
= b ∈ R. Возьмем
непересекающиеся окрестности U(a) и U(b). По определению 4.1 найдется
n
0
∈ N такое, что x
n
∈ U(a) для n ≥ n
0
и y
m
∈ U(b) для m ≥ n
0
. Так
как a < b и U(a) ∩ U(b) = ∅, то неравенство x < y выполняется для всех
x ∈ U(a) и y ∈ U(b). В частности, x
n
< y
m
для всех n, m ≥ n
0
.
Теорема 4.31. Предположим, что выполнено условие
lim
n→∞
x
n
< b ( lim
n→∞
x
n
> b).
Тогда существует такое n
0
∈ N, что неравенство x
n
< b (x
n
> b)
выполнено для всех n ≥ n
0
.
Доказательство. Возьмем последовательность y
n
= b, n ∈ N. Тогда со-
гласно примеру 4.21 пункт 1) и теореме 4.30 для некоторого n
0
∈ N условие
x
n
< y
n
= lim
n→∞
y
n
= b выполнено для всех n ≥ n
0
.
47
Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. По определению 4.16 най-
дутся числа n1 ∈ N и n2 ∈ N такие, что
                      a − ε < xn < a + ε для n ≥ n1 ,
                      a − ε < zn < a + ε для n ≥ n2 .
Тогда для n0 ≥ max{n� , n1 , n2 } выполнено условие
                       a − ε < xn ≤ yn ≤ zn < a + ε.
Следовательно, lim yn = a.
                n→∞

Теорема 4.29. Пусть существует n� ∈ N такое, что

                         xn ≤ yn для всех n ≥ n� .
Тогда,
  1) если lim xn = +∞, то lim yn = +∞;
          n→∞                n→∞
  2) если lim yn = −∞, то lim xn = −∞.
          n→∞                n→∞

   Доказательство этой теоремы опирается на (10) и (11) и в целом анало-
гично доказательству предыдущей теоремы.
Теорема 4.30. Пусть
                               lim xn < lim yn .
                             n→∞           n→∞
   Тогда существует такое n0 ∈ N, что неравенство xn < ym выполнено
для всех n ≥ n0 и m ≥ n0 .
Доказательство. Обозначим lim xn = a ∈ R, lim yn = b ∈ R. Возьмем
                               n→∞                 n→∞
непересекающиеся окрестности U (a) и U (b). По определению 4.1 найдется
n0 ∈ N такое, что xn ∈ U (a) для n ≥ n0 и ym ∈ U (b) для m ≥ n0 . Так
как a < b и U (a) ∩ U (b) = ∅, то неравенство x < y выполняется для всех
x ∈ U (a) и y ∈ U (b). В частности, xn < ym для всех n, m ≥ n0 .


Теорема 4.31. Предположим, что выполнено условие
                         lim xn < b ( lim xn > b).
                         n→∞           n→∞

  Тогда существует такое n0 ∈ N, что неравенство xn < b (xn > b)
выполнено для всех n ≥ n0 .
Доказательство. Возьмем последовательность yn = b, n ∈ N. Тогда со-
гласно примеру 4.21 пункт 1) и теореме 4.30 для некоторого n 0 ∈ N условие
xn < yn = lim yn = b выполнено для всех n ≥ n0 .
          n→∞

                                      47

Страницы