Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Следующая теорема описывает свойства пределов, связанные с арифме-
тическими операциями над последовательностями.
Теорема 4.26. Пусть последовательности {x
n
}
∞
n=1
и {y
n
}
∞
n=1
имеют ко-
нечные пределы. Тогда выполнены равенства:
1) lim
n→∞
(αx
n
+ βy
n
) = α lim
n→∞
x
n
+ β lim
n→∞
y
n
, α, β ∈ R;
2) lim
n→∞
x
n
y
n
= lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
y
n
;
3) lim
n→∞
x
n
y
n
=
lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
y
n
, если lim
n→∞
y
n
6= 0.
Доказательство. Обозначим lim
n→∞
x
n
= a, lim
n→∞
y
n
= b. Возьмем произволь-
ное число ε > 0.
1) По определению 4.16 для
ε
2
найдутся числа n
1
∈ N и n
2
∈ N такие,
что условия |x
n
− a| <
ε
2
, |y
n
− b| <
ε
2
выполнены для n ≥ n
1
и n ≥ n
2
,
соответственно. Отсюда и из оценки |x
n
+ y
n
− (a + b)| ≤ |x
n
− a| + |y
n
− b|
следует, что неравенство |x
n
+y
n
−(a+b)| < ε выполнено для всех n ≥ n
0
=
= max{n
1
, n
2
}. Это означает, что lim
n→∞
(x
n
+ y
n
) = a + b.
2) По теореме 4.24 существует константа c > 0 такая, что |y
n
| < c для
всех n ∈ N. По определению 4.16 найдется число n
1
∈ N такое, что условие
|x
n
−a| <
ε
2c
выполнено для n ≥ n
1
. Предположим, что хотя бы одно из чисел
a или b отлично от 0 (пусть, например, a 6= 0). Тогда существует n
2
∈ N
такое, что неравенство |y
n
−b| <
ε
2|a|
выполнено для n ≥ n
2
. Следовательно,
для n ≥ n
0
= max{n
1
, n
2
} получаем, что |x
n
y
n
−ab| = |x
n
y
n
−ay
n
+ay
n
−ab| ≤
≤ |y
n
||x
n
− a| + |a||y
n
− b| < ε. Значит, lim
n→∞
x
n
y
n
= ab. В случае a = b = 0
для n ≥ n
1
имеем оценку |x
n
y
n
| < c
ε
2c
< ε, из которой следует равенство
lim
n→∞
x
n
y
n
= 0 = ab.
3) Так как последовательности {x
n
}
∞
n=1
и {y
n
}
∞
n=1
сходятся, то по теореме
4.24 найдется константа c > 0 такая, что |x
n
| < c и |y
n
| < c для всех n ∈ N.
Воспользовавшись определением 4.16, выберем числа n
1
∈ N и n
2
∈ N
так, чтобы неравенства |x
n
− a| < ε и |y
n
− b| < ε были выполнены для
n ≥ n
1
и n ≥ n
2
, соответственно. Так как lim
n→∞
y
n
6= 0, то согласно пункту 3)
замечания 4.19 для некоторого ε
0
> 0 неравенство |y
n
| > ε
0
выполнено для
всех элементов последовательности {y
n
}
∞
n=1
, за исключением, может быть,
конечного набора элементов y
n
1
, y
n
2
, ..., y
n
k
. Так как из определения 4.25
следует, что y
n
6= 0 для всех n ∈ N, то найдется c
1
> 0 такое, что |y
n
| > c
1
для всех n ∈ N. Используя все сказанное выше и неравенство треугольника,
получаем для n ≥ n
0
= max{n
1
, n
2
} последовательность (не)равенств:
|
x
n
y
n
−
a
b
| = |
bx
n
− x
n
y
n
+ x
n
y
n
− ay
n
by
n
| ≤
|x
n
||y
n
− b| + |y
n
||x
n
− a|
|b||y
n
|
≤
2c
c
1
|b|
ε.
45
  Следующая теорема описывает свойства пределов, связанные с арифме-
тическими операциями над последовательностями.
Теорема 4.26. Пусть последовательности {xn }∞       n=1 и {yn }n=1 имеют ко-
                                                               ∞

нечные пределы. Тогда выполнены равенства:
   1) lim (αxn + βyn ) = α lim xn + β lim yn , α, β ∈ R;
        n→∞                   n→∞         n→∞
     2) lim xn yn = lim xn lim yn ;
        n→∞          n→∞   n→∞
            xn     lim x n
     3) lim     = n→∞ , если lim yn �= 0.
        n→∞ yn     lim yn      n→∞
                   n→∞
Доказательство. Обозначим lim xn = a, lim yn = b. Возьмем произволь-
                               n→∞           n→∞
ное число ε > 0.
   1) По определению 4.16 для 2ε найдутся числа n1 ∈ N и n2 ∈ N такие,
что условия |xn − a| < 2ε , |yn − b| < 2ε выполнены для n ≥ n1 и n ≥ n2 ,
соответственно. Отсюда и из оценки |xn + yn − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b|
следует, что неравенство |xn + yn − (a + b)| < ε выполнено для всех n ≥ n0 =
= max{n1 , n2 }. Это означает, что lim (xn + yn ) = a + b.
                                      n→∞
   2) По теореме 4.24 существует константа c > 0 такая, что |y n | < c для
всех n ∈ N. По определению 4.16 найдется число n1 ∈ N такое, что условие
|xn −a| < 2cε выполнено для n ≥ n1 . Предположим, что хотя бы одно из чисел
a или b отлично от 0 (пусть, например, a �= 0). Тогда существует n 2 ∈ N
такое, что неравенство |yn − b| < 2|a|
                                     ε
                                       выполнено для n ≥ n2 . Следовательно,
для n ≥ n0 = max{n1 , n2 } получаем, что |xn yn −ab| = |xn yn −ayn +ayn −ab| ≤
≤ |yn ||xn − a| + |a||yn − b| < ε. Значит, lim xn yn = ab. В случае a = b = 0
                                               n→∞
для n ≥ n1 имеем оценку |xn yn | < c 2cε < ε, из которой следует равенство
lim xn yn = 0 = ab.
n→∞
   3) Так как последовательности {xn }∞n=1 и {yn }n=1 сходятся, то по теореме
                                                  ∞

4.24 найдется константа c > 0 такая, что |xn | < c и |yn | < c для всех n ∈ N.
Воспользовавшись определением 4.16, выберем числа n 1 ∈ N и n2 ∈ N
так, чтобы неравенства |xn − a| < ε и |yn − b| < ε были выполнены для
n ≥ n1 и n ≥ n2 , соответственно. Так как lim yn �= 0, то согласно пункту 3)
                                                n→∞
замечания 4.19 для некоторого ε0 > 0 неравенство |yn | > ε0 выполнено для
всех элементов последовательности {yn }∞    n=1 , за исключением, может быть,
конечного набора элементов yn1 , yn2 , ..., ynk . Так как из определения 4.25
следует, что yn �= 0 для всех n ∈ N, то найдется c1 > 0 такое, что |yn | > c1
для всех n ∈ N. Используя все сказанное выше и неравенство треугольника,
получаем для n ≥ n0 = max{n1 , n2 } последовательность (не)равенств:
    xn a     bxn − xn yn + xn yn − ayn    |xn ||yn − b| + |yn ||xn − a|    2c
|      − |=|                           |≤                               ≤        ε.
    yn  b               byn                          |b||yn |             c1 |b|
                                          45

Страницы