Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Заметим, что из условия lim
n→∞
x
2
n
= a > 0, вообще говоря, не вытекает
равенство lim
n→∞
x
n
=
√
a. В качестве примера можно взять последователь-
ность x
n
= (−1)
n
, n ∈ N. Действительно, lim
n→∞
x
2
n
= 1. Возьмем произ-
вольную точку a и ее окрестность (a − ε, a + ε). Если выбрать 2ε < 1, то
эта окрестность не может содержать оба числа −1 и 1. Тогда из части 2)
замечания 4.19 следует, что lim
n→∞
x
n
6= a.
Теорема 4.22. Всякая сходящаяся последовательность имеет единствен-
ный предел.
Доказательство. Предположим, что найдется последовательность {x
n
}
∞
n=1
такая, что lim
n→∞
x
n
= a
1
, lim
n→∞
x
n
= a
2
и a
1
6= a
2
. Тогда из замечания 4.13
следует существование окрестности U(a
1
), вне которой находится конечное
число элементов последовательности {x
n
}
∞
n=1
. Возьмем произвольную ок-
рестность U(a
2
), не пересекающуюся с U(a
1
). По определению 4.12 окрест-
ность U(a
2
) содержит бесконечно много элементов выбранной последова-
тельности {x
n
}
∞
n=1
. Получили противоречие. Следовательно, a
1
= a
2
.
Замечание 4.23. Если речь идет о единственности предела, предел всякой
бесконечно большой последовательности будем считать равным бесконеч-
ности без определенного знака (∞). Необходимость такой договоренности
обоснована в замечании 4.17.
Теорема 4.24. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть последовательность {x
n
}
∞
n=1
является сходящейся
и lim
n→∞
x
n
= a ∈ R. Тогда согласно предложению 4.15 с ε = 1 неравенство
a − 1 < x
n
< a + 1 выполнено для всех n ≥ n
0
. Введем обозначения:
c
1
= min{a − 1, x
1
, ..., x
n
0
−1
}, c
2
= max{a + 1, x
1
, ..., x
n
0
−1
}. Тогда условие
c
1
< x
n
< c
2
выполнено для всех n ∈ N, что доказывает ограниченность
последовательности {x
n
}
∞
n=1
.
Упражнение 12. Привести пример ограниченной последовательности, не
имеющей предела.
4.2. Свойства пределов числовых последовательностей
Определение 4.25. Пусть даны две последовательности {x
n
}
∞
n=1
и {y
n
}
∞
n=1
.
Суммой, разностью, произведением и частным этих последовательностей
называются, соответственно, последовательности {x
n
+y
n
}
∞
n=1
, {x
n
−y
n
}
∞
n=1
,
{x
n
y
n
}
∞
n=1
, {
x
n
y
n
}
∞
n=1
. В случае частного предполагается, что y
n
6= 0 для всех
n ∈ N.
44
  Заметим, что из условия lim x2n = a > 0, вообще говоря, не вытекает
                   √      n→∞
равенство lim xn = a. В качестве примера можно взять последователь-
            n→∞
ность xn = (−1)n , n ∈ N. Действительно, lim x2n = 1. Возьмем произ-
                                                   n→∞
вольную точку a и ее окрестность (a − ε, a + ε). Если выбрать 2ε < 1, то
эта окрестность не может содержать оба числа −1 и 1. Тогда из части 2)
замечания 4.19 следует, что lim xn �= a.
                                n→∞

Теорема 4.22. Всякая сходящаяся последовательность имеет единствен-
ный предел.
Доказательство. Предположим, что найдется последовательность {x n }∞  n=1
такая, что lim xn = a1 , lim xn = a2 и a1 �= a2 . Тогда из замечания 4.13
            n→∞              n→∞
следует существование окрестности U (a1 ), вне которой находится конечное
число элементов последовательности {xn }∞  n=1 . Возьмем произвольную ок-
рестность U (a2 ), не пересекающуюся с U (a1 ). По определению 4.12 окрест-
ность U (a2 ) содержит бесконечно много элементов выбранной последова-
тельности {xn }∞n=1 . Получили противоречие. Следовательно, a 1 = a2 .

Замечание 4.23. Если речь идет о единственности предела, предел всякой
бесконечно большой последовательности будем считать равным бесконеч-
ности без определенного знака (∞). Необходимость такой договоренности
обоснована в замечании 4.17.
Теорема 4.24. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть последовательность {xn }∞         n=1 является сходящейся
и lim xn = a ∈ R. Тогда согласно предложению 4.15 с ε = 1 неравенство
  n→∞
a − 1 < xn < a + 1 выполнено для всех n ≥ n0 . Введем обозначения:
c1 = min{a − 1, x1 , ..., xn0 −1 }, c2 = max{a + 1, x1 , ..., xn0 −1 }. Тогда условие
c1 < xn < c2 выполнено для всех n ∈ N, что доказывает ограниченность
последовательности {xn }∞   n=1 .

Упражнение 12. Привести пример ограниченной последовательности, не
имеющей предела.

4.2.   Свойства пределов числовых последовательностей
Определение 4.25. Пусть даны две последовательности {x n }∞         n=1 и {yn }n=1 .
                                                                               ∞

Суммой, разностью, произведением и частным этих последовательностей
называются, соответственно, последовательности {x n + yn }∞    n=1 , {xn − yn }n=1 ,
                                                                               ∞

        n=1 , { yn }n=1 . В случае частного предполагается, что y n �= 0 для всех
                xn ∞
{xn yn }∞
n ∈ N.

                                         44

Страницы