Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Определение 4.14. Последовательность, предел которой равен 0, называ-
ется бесконечно малой последовательностью. Последовательность, предел
которой равен какой-либо бесконечности, называется бесконечно большой
последовательностью.
Предложение 4.15. Следующие условия эквивалентны:
1) lim
n→∞
x
n
= a ∈ R;
2) для произвольной ε-окрестности U
ε
(a) точки a ∈ R найдется число
n
0
∈ N такое, что условие x
n
∈ U
ε
(a) выполняется для всех n ≥ n
0
.
Доказательство. 1)⇒ 2). Возьмем произвольную ε-окрестность U
ε
(a) точ-
ки a ∈ R. Затем выберем окрестность U(a) так, что U(a) ⊆ U
ε
(a). Отсюда
и из определения 4.12 следует существование числа n
0
∈ N такого, что
условие x
n
∈ U(a) ⊆ U
ε
(a) выполняется для всех n ≥ n
0
. Таким образом,
импликация 1)⇒ 2) доказана. Импликация 2)⇒ 1) доказывается аналогич-
но.
Используя предложение 4.15 и определение ε-окрестности, сформулируем
определение предела последовательности в виде, более удобном для прак-
тического применения.
Определение 4.16. Число a ∈ R называется пределом последовательности
{x
n
}
∞
n=1
, если для любого числа ε > 0 найдется номер n
0
∈ N такой, что для
всех n ≥ n
0
выполняется условие |x
n
− a| < ε.
Воспользовавшись символами математической логики, запишем приве-
денную выше формулировку в виде:
lim
n→∞
x
n
= a ∈ R ⇔ ∀(ε > 0)∃(n
0
∈ N)∀(n ≥ n
0
)[|x
n
− a| < ε]. (9)
Аналогичные формулировки получаем для пределов, равных бесконеч-
ности:
lim
n→∞
x
n
= +∞ ⇔ ∀(ε > 0)∃(n
0
∈ N)∀(n ≥ n
0
)[x
n
> ε], (10)
lim
n→∞
x
n
= −∞ ⇔ ∀(ε > 0)∃(n
0
∈ N)∀(n ≥ n
0
)[x
n
< −ε], (11)
lim
n→∞
x
n
= ∞ ⇔ ∀(ε > 0)∃(n
0
∈ N)∀(n ≥ n
0
)[|x
n
| > ε]. (12)
Замечание 4.17. Из (10), (11), (12) следует, что каждое из условий lim
n→∞
x
n
=
= +∞, lim
n→∞
x
n
= −∞ влечет равенство lim
n→∞
x
n
= ∞. Обратное утверждение
неверно. Например, lim
n→∞
(−1)
n
n = ∞, но lim
n→∞
(−1)
n
n 6= ±∞.
В некоторых случаях для упрощения техники доказательства равенства
lim
n→∞
x
n
= a бывает удобно использовать утверждения следующего вида.
42
Определение 4.14. Последовательность, предел которой равен 0, называ-
ется бесконечно малой последовательностью. Последовательность, предел
которой равен какой-либо бесконечности, называется бесконечно большой
последовательностью.
Предложение 4.15. Следующие условия эквивалентны:
  1) lim xn = a ∈ R;
      n→∞
   2) для произвольной ε-окрестности Uε (a) точки a ∈ R найдется число
n0 ∈ N такое, что условие xn ∈ Uε (a) выполняется для всех n ≥ n0 .
Доказательство. 1)⇒ 2). Возьмем произвольную ε-окрестность U ε (a) точ-
ки a ∈ R. Затем выберем окрестность U (a) так, что U (a) ⊆ Uε (a). Отсюда
и из определения 4.12 следует существование числа n0 ∈ N такого, что
условие xn ∈ U (a) ⊆ Uε (a) выполняется для всех n ≥ n0 . Таким образом,
импликация 1)⇒ 2) доказана. Импликация 2)⇒ 1) доказывается аналогич-
но.
  Используя предложение 4.15 и определение ε-окрестности, сформулируем
определение предела последовательности в виде, более удобном для прак-
тического применения.
Определение 4.16. Число a ∈ R называется пределом последовательности
     n=1 , если для любого числа ε > 0 найдется номер n 0 ∈ N такой, что для
{xn }∞
всех n ≥ n0 выполняется условие |xn − a| < ε.
   Воспользовавшись символами математической логики, запишем приве-
денную выше формулировку в виде:

        lim xn = a ∈ R ⇔ ∀(ε > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 )[|xn − a| < ε].      (9)
       n→∞
   Аналогичные формулировки получаем для пределов, равных бесконеч-
ности:
          lim xn = +∞ ⇔ ∀(ε > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 )[xn > ε],   (10)
            n→∞
            lim xn = −∞ ⇔ ∀(ε > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 )[xn < −ε],         (11)
            n→∞
             lim xn = ∞ ⇔ ∀(ε > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 )[|xn | > ε].       (12)
            n→∞
Замечание 4.17. Из (10), (11), (12) следует, что каждое из условий lim xn =
                                                                   n→∞
= +∞, lim xn = −∞ влечет равенство lim xn = ∞. Обратное утверждение
       n→∞                                n→∞
неверно. Например, lim (−1)n n = ∞, но lim (−1)n n �= ±∞.
                     n→∞                   n→∞
   В некоторых случаях для упрощения техники доказательства равенства
lim xn = a бывает удобно использовать утверждения следующего вида.
n→∞

                                     42

Страницы