Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2n
2
+ n − 1
n
2
+ n + 2
≥
2n
2
− 1
n
2
+ n
2
+ 2n
2
=
1
2
−
1
4n
2
≥
1
4
.
Из определения 4.2 следует, что для ограниченности последовательности
{x
n
}
∞
n=1
необходимо и достаточно существование констант c
1
, c
2
∈ R таких,
что неравенство c
1
≤ x
n
≤ c
2
выполнено для всех n ∈ N. Положив c =
= max{|c
1
|, |c
2
|}, получим, что ограниченность последовательности {x
n
}
∞
n=1
равносильна выполнению условия |x
n
| ≤ c для всех n ∈ N.
Определение 4.4. Последовательность {x
n
}
∞
n=1
называется возрастающей
(соответственно, убывающей, неубывающей, невозрастающей), если из не-
равенства n > m следует неравенство x
n
> x
m
(соответственно, x
n
< x
m
,
x
n
≥ x
m
, x
n
≤ x
m
).
Определение 4.4 можно сформулировать в следующем эквивалентном
виде.
Определение 4.5. Последовательность {x
n
}
∞
n=1
называется возрастающей
(соответственно, убывающей, неубывающей, невозрастающей), если для лю-
бого n ∈ N выполнены неравенства x
n+1
> x
n
(соответственно, x
n+1
< x
n
,
x
n+1
≥ x
n
, x
n
≤ x
n+1
).
Определение 4.6. Возрастающие и убывающие последовательности назы-
ваются строго монотонными. Невозрастающие и неубывающие последова-
тельности называются монотонными.
Определение 4.7. Последовательность {x
n
}
∞
n=1
называется стационарной,
если x
n
= x
m
для всех n, m ∈ N.
Пример 4.8. Последовательность x
n
=
n
n
2
+ 1
, n ∈ N монотонно убывает.
Действительно,
x
n
−x
n+1
=
n
n
2
+ 1
−
n + 1
(n + 1)
2
+ 1
=
−n
2
− n + 1
(n
2
+ 1)((n + 1)
2
+ 1)
< 0, если n ∈ N.
Значит, x
n+1
> x
n
, n ∈ N; то есть {x
n
}
∞
n=1
является убывающей последова-
тельностью.
Пример 4.9. Последовательность x
n
= (1 +
1
2
)(1 +
1
4
)...(1 +
1
2
n
) монотонно
возрастает и ограничена.
Из
x
n+1
x
n
= 1 +
1
2
n+1
> 1 вытекает монотонное возрастание последова-
тельности {x
n
}
∞
n=1
. Ограниченность снизу очевидна: x
n
> 1 для n ∈ N. Для
доказательства ограниченности сверху воспользуемся принципом матема-
тической индукции. Предположим, что оценка |x
k
| ≤ c выполнена для всех
40
                 2n2 + n − 1      2n2 − 1      1   1   1
                             ≥               =   −   ≥   .
                  n2 + n + 2   n2 + n2 + 2n2   2 4n2   4
  Из определения 4.2 следует, что для ограниченности последовательности
     n=1 необходимо и достаточно существование констант c 1 , c2 ∈ R таких,
{xn }∞
что неравенство c1 ≤ xn ≤ c2 выполнено для всех n ∈ N. Положив c =
= max{|c1 |, |c2 |}, получим, что ограниченность последовательности {x n }∞
                                                                          n=1
равносильна выполнению условия |xn | ≤ c для всех n ∈ N.
Определение 4.4. Последовательность {xn }∞
                                         n=1 называется возрастающей
(соответственно, убывающей, неубывающей, невозрастающей), если из не-
равенства n > m следует неравенство xn > xm (соответственно, xn < xm ,
xn ≥ xm , xn ≤ xm ).
  Определение 4.4 можно сформулировать в следующем эквивалентном
виде.
Определение 4.5. Последовательность {xn }∞n=1 называется возрастающей
(соответственно, убывающей, неубывающей, невозрастающей), если для лю-
бого n ∈ N выполнены неравенства xn+1 > xn (соответственно, xn+1 < xn ,
xn+1 ≥ xn , xn ≤ xn+1 ).
Определение 4.6. Возрастающие и убывающие последовательности назы-
ваются строго монотонными. Невозрастающие и неубывающие последова-
тельности называются монотонными.

                                         n=1 называется стационарной,
Определение 4.7. Последовательность {xn }∞
если xn = xm для всех n, m ∈ N.
                                      n
Пример 4.8. Последовательность xn = 2      , n ∈ N монотонно убывает.
                                    n +1
Действительно,
                n     n+1            −n2 − n + 1
xn − xn+1   = 2   −            =                       < 0, если n ∈ N.
             n + 1 (n + 1)2 + 1 (n2 + 1)((n + 1)2 + 1)
Значит, xn+1 > xn , n ∈ N; то есть {xn }∞
                                        n=1 является убывающей последова-
тельностью.
                                              1      1      1
Пример 4.9. Последовательность xn = (1 + )(1 + )...(1 + n ) монотонно
                                              2      4      2
возрастает и ограничена.
      xn+1             1
   Из       = 1 + n+1 > 1 вытекает монотонное возрастание последова-
       xn            2
тельности {xn }n=1 . Ограниченность снизу очевидна: xn > 1 для n ∈ N. Для
               ∞

доказательства ограниченности сверху воспользуемся принципом матема-
тической индукции. Предположим, что оценка |xk | ≤ c выполнена для всех

                                     40

Страницы