Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

k = 1, ..., n. Можно считать, что c ≥ 3. Покажем, что |x
n+1
| ≤ c. Для этого
представим члены последовательности в виде: x
1
=
3
2
, x
2
= x
1
+
1
4
x
1
, x
3
=
= x
2
+
1
8
x
2
, ..., x
n+1
= x
n
+
1
2
n+1
x
n
. Складывая между собой левые и правые
части записанных равенств и приводя подобные слагаемые, получаем:
x
n+1
=
3
2
+
1
4
x
1
+
1
8
x
2
+ ... +
1
2
n+1
x
n
≤ (
1
2
+
1
4
+ ... +
1
2
n+1
)c < c.
Здесь мы воспользовались индуктивным предположением и формулой сум-
мы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Отсюда получаем,
что 0 < x
n
≤ c для всех n ∈ N.
Определение 4.10. Пусть последовательность {x
n
}
∞
n=1
определена отоб-
ражением f : N → R и задано возрастающее отображение g : N → N (то
есть g(n) < g(m), если n < m). Сложное отображение f ◦ g называется
подпоследовательностью последовательности {x
n
}
∞
n=1
.
Понятия, введенные в определениях 4.4 − 4.7 для последовательностей,
без каких-либо изменений переносятся на подпоследовательности.
Из определений 4.1 и 4.10 следует, что любая подпоследовательность сама
является последовательностью. Подпоследовательность последовательнос-
ти {x
n
}
∞
n=1
обозначается {x
n
k
}
∞
k=1
, где n
k
= g(k) и g − отображение из
определения 4.10. Таким образом, подпоследовательностью исходной по-
следовательности {x
n
}
∞
n=1
является любая последовательность
y
k
= x
n
k
, k ∈ N ,
где {n
k
}
∞
k=1
− возрастающая последовательность натуральных чисел.
Пример 4.11. Пусть {x
n
}
∞
n=1
− некоторая последoвательность и g(k) =
= 2k. Тогда отображению g соответствует подпоследовательность {x
2k
}
∞
k=1
.
Например, для x
n
= (−1)
n
n, n ∈ N подпоследовательностью является x
n
k
=
= 2k, k ∈ N.
Определение 4.12. Точка a ∈ R ∪ {∞} называется пределом последова-
тельности {x
n
}
∞
n=1
, если для произвольной окрестности U(a) точки a найдет-
ся число n
0
∈ N такое, что условие x
n
∈ U(a) выполняется для всех n ≥ n
0
.
Если точка a является пределом последовательности {x
n
}
∞
n=1
, то пишут
lim
n→∞
x
n
= a или x
n
→ a при n → ∞.
Замечание 4.13. 1) Выбор числа n
0
в определении 4.12 зависит, вообще
говоря, от выбора окрестности U(a).
2) Из определения 4.12 следует, что если lim
n→∞
x
n
= a, то вне любой окрест-
ности U(a) находится не более конечного числа элементов последователь-
ности {x
n
}
∞
n=1
.
41
k = 1, ..., n. Можно считать, что c ≥ 3. Покажем, что |xn+1 | ≤ c. Для этого
                                                     3             1
представим члены последовательности в виде: x 1 = , x2 = x1 + x1 , x3 =
                                                     2             4
        1                     1
= x2 + x2 , ..., xn+1 = xn + n+1 xn . Складывая между собой левые и правые
        8                   2
части записанных равенств и приводя подобные слагаемые, получаем:
                3 1       1             1      1 1            1
      xn+1 = + x1 + x2 + ... + n+1 xn ≤ ( + + ... + n+1 )c < c.
                2 4       8           2        2 4         2
Здесь мы воспользовались индуктивным предположением и формулой сум-
мы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Отсюда получаем,
что 0 < xn ≤ c для всех n ∈ N.
Определение 4.10. Пусть последовательность {xn }n=1  ∞
                                                       определена отоб-
ражением f : N → R и задано возрастающее отображение g : N → N (то
есть g(n) < g(m), если n < m). Сложное отображение f ◦ g называется
                                                n=1 .
подпоследовательностью последовательности {x n }∞
   Понятия, введенные в определениях 4.4 − 4.7 для последовательностей,
без каких-либо изменений переносятся на подпоследовательности.
   Из определений 4.1 и 4.10 следует, что любая подпоследовательность сама
является последовательностью. Подпоследовательность последовательнос-
        n=1 обозначается {xnk }k=1 , где nk = g(k) и g − отображение из
ти {xn }∞                       ∞

определения 4.10. Таким образом, подпоследовательностью исходной по-
следовательности {xn }∞n=1 является любая последовательность

                           yk = xnk ,        k ∈ N,
         k=1 − возрастающая последовательность натуральных чисел.
где {nk }∞
Пример 4.11. Пусть {xn }∞n=1 − некоторая последoвательность и g(k) =
                                                                     k=1 .
= 2k. Тогда отображению g соответствует подпоследовательность {x 2k }∞
Например, для xn = (−1) n, n ∈ N подпоследовательностью является xnk =
                       n

= 2k, k ∈ N.
Определение 4.12. Точка a ∈ R ∪ {∞} называется пределом последова-
               n=1 , если для произвольной окрестности U (a) точки a найдет-
тельности {xn }∞
ся число n0 ∈ N такое, что условие xn ∈ U (a) выполняется для всех n ≥ n0 .
   Если точка a является пределом последовательности {x n }∞
                                                           n=1 , то пишут
lim xn = a или xn → a при n → ∞.
n→∞
Замечание 4.13. 1) Выбор числа n0 в определении 4.12 зависит, вообще
говоря, от выбора окрестности U (a).
   2) Из определения 4.12 следует, что если lim xn = a, то вне любой окрест-
                                              n→∞
ности U (a) находится не более конечного числа элементов последователь-
ности {xn }∞
           n=1 .

                                        41

Страницы