Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 39 стр.

по условию 2) найдется x0 ∈ M , удовлетворяющий условию x0 > α − ε =
= α+α
    2
      0
        > α0 . Получили противоречие с предположением α0 = sup M < α.
Таким образом, α = sup M .
     Совершенно аналогично может быть доказано следующее утверждение.
Теорема 3.48. Для выполнения равенства inf M = β ∈ R необходимо и
достаточно, чтобы были выполнены следующие два условия:
   1) x ≥ β для всех x ∈ M ;
   2) для каждого ε > 0 найдется такое x0 ∈ M , что β + ε > x0 .

4.     Числовая последовательность. Предел числовой
       последовательности
4.1.    Основные определения
Определение 4.1. Числовой последовательностью называется отображе-
ние множества N в множество R.
   Образ элемента n ∈ N при этом отображении обозначается, как правило,
строчной латинской буквой с индексом n (например, x n ) и называется эле-
ментом последовательности (с номером n). Из определения 4.1 следует, что
задание последовательности равносильно заданию подмножества вещест-
венных чисел, элементы которого «занумерованы» натуральными числа-
ми. Поэтому в дальнейшем часто мы не будем делать различия между по-
следовательностью как отображением и «занумерованным» образом этого
отображения. Для обозначения последовательности будем использовать за-
          n=1 или xn , n ∈ N. Множество всех элементов последовательности
писи {xn }∞
будем записывать в виде {xn : n ∈ N}.
Определение 4.2. Последовательность {xn }∞     n=1 называется ограниченной
сверху (соответственно, ограниченной снизу), если существует c ∈ R такое,
что неравенство xn ≤ c (соответственно, xn ≥ c) выполнено для каждого
n ∈ N. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена
и сверху, и снизу.
                                             1
Пример 4.3. 1) Последовательность xn = , n ∈ N ограничена, так как
                                             n
     1
0 < ≤ 1 для всех n ∈ N.
     n
                               2n2 + n − 1
   2) Последовательность xn = 2            , n ∈ N ограничена. Это вытека-
                                n −n+2
ет из следующих оценок:
                       2n2 + n − 1   2n2 + n2
                                   ≤          = 3,
                        n2 + n + 2      n2
                                    39