Введение в математический анализ. Азизов Т.Я - 37 стр.

   α� = sup{a1 + a3 : a1 ∈ A1 , a3 ∈ A3 } = inf{b1 + b3 : b1 ∈ B1 , b3 ∈ B3 },
   α�� = sup{a2 + a3 : a2 ∈ A2 , a3 ∈ A3 } = inf{b2 + b3 : b2 ∈ B2 , b3 ∈ B3 },
порождают суммы α + γ, β + γ. Так как A� |B � является сечением, то a1 +
+a3 < b1 + b3 для a1 ∈ A1 , a3 ∈ A3 , b1 ∈ B1 , b3 ∈ B3 . Так как α < β,
то по определению сравнения чисел B2 ⊂ B1 . Следовательно, полученное
неравенство верно, в частности для b1 = b2 ∈ B2 : a1 + a3 < b2 + b3 . Это
означает, что A� ⊂ A�� , то есть α + γ < β + γ.
  Следствия из свойства IV3 .
  1) Неравенства α > β и α − β > 0 равносильны.
  2) Если α > β, то −α < −β.
Доказательство. 1) Пусть выполнено α > β. Возьмем в IV3 γ = −β. Тогда
по свойству IV3 получаем α + (−β) > β + (−β). Отсюда, из определения
противоположного числа и предложения 3.37 следует неравенство α−β > 0.
   Пусть теперь выполняется неравенство α − β > 0. Прибавив к обеим
частям этого неравенства число β, получим, что α > β.
   2) Пусть дано неравенство α > β. Предположим, что −α ≥ −β. Пусть
для определенности −α > −β. Прибавив к обеим частям число α, получим
0 > −β + α. С другой стороны, прибавив к обеим частям неравенства α > β
число −β, получим α + (−β) > β + (−β) = 0. Получили противоречие,
показывающее, что случай −α > −β невозможен. Случай α = β рассмат-
ривается аналогично.
  Более подробно остановимся на часто используемых далее свойствах мо-
дулей вещественных чисел.
Предложение 3.44. Если α ∈ R и β > 0, то |α| < β ⇔ −β < α < β.
Доказательство. Пусть выполнено неравенство |α| < β. Если α > 0, то,
с одной стороны, α = |α| < β по определению модуля. С другой стороны,
согласно упражнению 4 имеем −α < 0. Следовательно, −α < 0 < β и,
значит, −α < β по свойству IV2 . Таким образом, двойное неравенство −β <
< α < β доказано. Случай α < 0 рассматривается аналогично. Для α = 0
утверждение теоремы очевидно выполнено.
   Пусть теперь выполнено двойное неравенство −β < α < β. Тогда из
−β < α и следствия 2) из свойства IV3 получаем −(−β) > −α. Согласно
упражнению 4 выполняется равенство β = −(−β). Значит, β > −α. Так
как для любого α имеет место одно из равенств |α| = α или |α| = −α, то
|α| < β.



                                       37